高考数学微专题复习（新高考地区专用）专题26 三次函数的图像与性质（解析版）

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专题 26 三次函数的图像与性质
一、题型选讲
题型一 、三次函数的切线问题
三次函数的切线问题关键就是求出切线的斜率以及切点，要注意切点的横坐标、斜率以及切线方程的密
切联系。
例1、（2020 届山东省潍坊市高三上学期统考）当直线
1 0 ( )kx y k k   R
和曲线 E：
3 2
5( 0)
3
y ax bx ab  
交于
1 1 2 2 3 3
( ) ( ) ( )A x y B x y C x y， ， ， ， ，
1 2 3
( )x x x 
三点时，曲线 E在点 A，点 C处
的切线总是平行的，则过点
( )b a，
可作曲线 E的切线的条数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】直线
 
1 0kx y k k R  
过定点
 
1,1
由题意可知：定点
 
1,1
是曲线
的对称中心，
51
3
1
3
a b
b
a
 
 
，解得
1
3
1
a
b
 
，所以曲线
3 2
1 5
:3 3
E y x x  
，
 
1
, 1 3
b a  
 
 
 
，
f′（x）=
2
2xx
，设切点 M（x0，y0），
则M纵坐标 y0=
3 2
0 0
1 5
3 3
x x 
，又 f′（x0）=
2
0 0
2x x
，
∴切线的方程为：
 
 
3 2 2
0 0 0 0 0
1 5
y 2
3 3
x x x x x x
 
 
 
 
又直线过定点
1
13
 
 
 
，
 
 
3 2 2
0 0 0 0 0
1 1 5 2 1
3 3 3
x x x x x
 
 
 
 
，
得
3
0
x
﹣
0
3x
-2=0，
 
 
3
0 0 0
2 1 0x x x  
，
1
即
 
 
2
0 0 0
1 2 0x x x  
解得：
0
2 1x 或
故可做两条切线
故选 C
例2、【2018 年新课标 1理科 05】设函数 f（x）＝x3+（a1﹣）x2+ax．若 f（x）为奇函数，则曲线 y＝
f（x）在点（0，0）处的切线方程为（　　　　）
A．y＝﹣2xB．y＝﹣xC．y＝2xD．y＝x
【答案】D
【解析】：函数 f（x）＝x3+（a1﹣）x2+ax，若 f（x）为奇函数，
可得 a＝1，所以函数 f（x）＝x3+x，可得 f′（x）＝3x2+1，
曲线 y＝f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，
则曲线 y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y＝x．
故选：D．
题型二、 运用三次函数的图像研究零点问题
遇到函数零点个数问题，通常转化为两个函数图象交点问题，进而借助数形结合思想解决问题；也可
转化为方程解的个数问题，通过具体的解方程达到解决问题的目的.前者由于是通过图形解决问题，故对绘
制的函数图象准确度和细节处要求较高，后者对问题转化的等价性和逻辑推理的严谨性要求较高 .下面的解
法是从解方程的角度考虑的.
例3、(2017 南通、扬州、泰州、淮安三调）已知函数 若函数 恰有
2个不同的零点，则实数 a的取值范围是 ▲ ．
【答案】
【解析】：函数 恰有 2个不同的零点，即方程 恰有 2个不相等的根，亦即方
程（Ⅰ） 和（Ⅱ） 共有 2个不相等的根.
首先（Ⅰ）中 ，即 ，若 ，则 都是方程 的根，不符合题意
所以 ，因此（Ⅰ）中由 解得 ，下面分情况讨论
（1）若 是方程（Ⅰ）的唯一根，则必须满足 ，即 ，此时方程（Ⅱ）必须再有唯一的一个
根，即 有唯一根，因为 ，由 ，得 必须有满足
2
的唯一根，首先 ，其次解得的负根需满足 ，从而解得 ，
（2）若 不是方程（Ⅰ）的唯一根，则必须满足 ，即 ，此时方程（Ⅱ）必须有两个不相等
的根，即 有两个不相等的根，由 ，得 适合，另外
还有必须一满足 的非零实根，首先 ，解得的正根需满足 ，从
而解得 ，但前面已经指出 ，故 ，
综合（1）、（2），得实数 的取值范围为 .
例 4、(2019 南京学情调研）已知函数 f(x)＝当 x∈(－∞，m]时，f(x)的取值范围为[－16，＋∞)，则实数 m
的取值范围是________．
【答案】 [－2,8]　
【解析】思路分析 由于 f(x)的解析式是已知的，因此，可以首先研究出函数 f(x)在R上的单调性及相关的
性质，然后根据 f(x)的取值范围为[－16，＋∞)，求出它的值等于－16 时的 x的值，借助于函数 f(x)的图像
来对 m的取值范围进行确定．
当x≤0时，f(x)＝12x－x3，所以 f′(x)＝12－3x2.令f′(x)＝0，则 x＝－2(正值舍去)，所以当 x∈(－
∞，－2)时，f′(x)＜0，此时 f(x)单调递减；当 x∈(－2,0]时，f′(x)＞0，此时 f(x)单调递增，故函数 f(x)在
x≤0时的极小值为 f(－2)＝－16.当x＞0时，f(x)＝－2x单调递减，f(0)＝0，f(8)＝－16，因此，根据 f(x)的
图像可得 m∈[－2,8]．
解后反思 根据函数的解析式来得到函数的相关性质，然后由此画出函数的图像，借助于函数的图像可
以有效地进行解题，这就是数形结合的魅力．
题型三、三次函数的单调性问题
研究三次函数的单调性，往往通过导数进行研究。要特别注意含参的讨论。
例 5、(2018 无锡期末） 若函数 f(x)＝(x＋1)2|x－a|在区间[－1，2]上单调递增，则实数 a的取值范围是____
____．
【答案】 (－∞，－1]∪
由于条件中函数的解析式比较复杂，可以先通过代数变形，将其化为熟悉的形式，进而利用导数研究函数
的性质及图像，再根据图像变换的知识得到函数 f(x)的图像进行求解．
函数 f(x)＝(x＋1)2|x－a|＝|(x＋1)2(x－a)|＝|x3＋(2－a)x2＋(1－2a)x－a|.
令g(x)＝x3＋(2－a)x2＋(1－2a)x－a，则
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