高考数学微专题复习（新高考地区专用）专题22 利用空间向量研究探索性与最值问题（解析版）

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专题 22 利用空间向量研究探索性与最值问题
一、题型选讲
题型一 、探索点的位置关系
此类问题主要考察是否存在点，使满足线线、线面面面的夹角或者距离等问题，解决的关键是假设点存
在，然后引入变量把点表示出来，通过题目给出的条件列出方程，解出参数。但要注意参数的范围。
例 1、【四川省资阳市 2020 届高三模拟】如图，在四棱锥
P − ABCD
中，
PA ⊥
平面
ABCD
，
AD/¿BC
，
AD ⊥CD
，且
AD=CD
，
∠ABC =45 °
.
（1）证明：
.
（2）若
AD=
√
2PA
，试在棱
PB
上确定一点
M
，使
DM
与平面
PAB
所成角的正弦值为
2
√
21
21
.
【解析】（1）证明：∵
AD⊥CD
，且
AD=CD
，∴
∠ACD=∠DAC=45 °
，
∴
∠BCA =45 °
，又∵
∠ABC =45 °
，∴
∠BAC=90 °
，即
AC ⊥AB
.
∵
PA ⊥
平面
ABCD
，
AC ⊂
平面
ABCD
，∴
PA ⊥AC
，
又∵
PA ∩ AB=A
，∴
AC ⊥
平面
PAB
，
∵
PB⊂
平面
PAB
，∴
AC ⊥PB
.
（2）解：取
BC
的中点
E
，以
A
为坐标原点，
AE
，
AD
，
AP
所在的直线分别为
x
轴，
y
轴，
z
轴建立空间
直角坐标系
A − xyz
.如图所示.
设
PA=1
，则
A
(
0,0,0
)
，
P
(
0,0,1
)
，
B
(
√
2, −
√
2,0
)
，
C
(
√
2,
√
2,0
)
，
D
(
0,
√
2,0
)
，
则
⃑
PB=
(
√
2, −
√
2, −1
)
，
⃑
PD =
(
0,
√
2, −1
)
，
⃑
AC=
(
√
2,
√
2,0
)
，
1
设
⃑
PM =λ
⃑
PB=
(
√
2λ ,−
√
2λ ,− λ
)
(
0≤ λ ≤1
)
，
则
⃑
DM =
⃑
PM −
⃑
PD=
(
√
2λ , −
√
2λ −
√
2,− λ+1
)
.
由（1）可知，
AC ⊥
平面
PAB
，∴
⃑
AC=
(
√
2,
√
2,0
)
为平面
PAB
的一个法向量.
设
DM
与平面
PAB
所成的角为
θ
.
则
sin θ=
|
cos
⟨
⃑
DM ,
⃑
AC
⟩
|
=
|
⃑
DM ⋅
⃑
AC
|
|
⃑
DM
||
⃑
AC
|
=
|
2λ −2λ −2
|
√
2λ2+2
(
λ+1
)
2+
(
− λ+1
)
2×2
=1
√
2λ2+2
(
λ+1
)
2+
(
− λ +1
)
2=2
√
21
21
，
整理得
20 λ2+8λ − 9=0
，解得
λ=1
2
或
λ=−9
10
（舍），
∴点
M
为棱
PB
的中点.
例 2、（2020·山东潍坊·高三月考）在四棱锥
P ABCD
中，平面
PAD
平面
ABCD
，底面
ABCD
为直角梯形，
//BC AD
，
90ADC  
，
11
2
BC CD AD 
，
E
为线段
AD
的中点，过
BE
的平面与
线段
PD
，
PC
分别交于点
G
，
F
．
（1）求证：
GF PA
；
（2）若
2PA PD 
，是否存在点
G
，使得直线
PB
与平面
BEGF
所成角的正弦值为
10
5
，若存在，
请确定
G
点的位置；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）证明：
1
2
BC AD
，且
E
为线段
AD
的中点，
BC DE 
，
2
又
//BC AD
，
四边形
BCDE
为平行四边形，
//BE CD
，
又
CD
平面
PCD
，
BE
平面
PCD
，
//BE
平面
PCD
，
又平面
BEGF
平面
PCD GF
，
//BE GF
，
又
BE AD
，且平面
PAD
平面
ABCD
，平面
PAD
平面
ABCD AD
，
BE 
平面
PAD
，
GF 
平面
PAD
，
又
PA
平面
PAD
，
GF PA 
.
（2）存在，
G
为
DP
的靠近
D
点的三等分点．
PA PD
，
E
为线段
AD
的中点，
PE AD∴
，
又平面
PAD
平面
ABCD
，
PE 
平面
ABCD
，
以
E
为坐标原点，
EA

的方向为
x
轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系
E xyz
，
则
 
0,0,1P
，
 
0,1,0B
，
 
0,0,0E
，
 
1,0,0D
，
则
 
0,1, 1PB  

，
 
0, 1, 0BE  

，
 
1,0,1DP
uuur
，
设
DG DP
              
，得
 
1,0,G
 
，
 
1,0,EG
 
 
uuur
，
设平面
BEGF
的法向量为
 
, ,n x y z
，
则
0,
0,
BE n
EG n
 
 
 ⃑
⃑⃑
即
 
0,
1 0,
y
x z
 
 
令
x λ
，可得
 
,0,1n
 
 
为平面
BEGF
的一个法向量，
设直线
PB
与平面
BEGF
所成角为
，
3
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