高考数学微专题复习（新高考地区专用）专题21 运用空间向量解决空间角（原卷版）

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专题 21 运用空间向量解决空间角

一、题型选讲

题型一、异面直线所成的角以及

研究异面直线所成的角首先要注意交的范围，然后转化为有直线的方向向量的夹角。

例1、【2018 年高考江苏卷】如图，在正三棱柱 ABC−A1B1C1中，AB=AA1=2，点 P，Q分别为 A1B1，BC 的中

点．（1）求异面直线 BP 与AC1所成角的余弦值；

（2）求直线 CC1与平面 AQC1所成角的正弦值．

例 2、(2019 南京学情调研）如图，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，已知底面 ABCD 的边长 AB＝3，侧棱

AA1＝2，E是棱 CC1的中点，点F满足AF＝2FB.

(1) 求异面直线 FE 和DB1所成角的余弦值；

(2) 记二面角 EB1FA 的大小为 θ，求|cosθ|.

题型二、直线与平面所成的角

直线与平面所成的角是通过研究直线的方向向量和平面的法向量的所成的角，因此，要特别注意所求的角

与已求的角之间的关系。

例3、【2020 年高考浙江】如图，在三棱台 ABC—DEF 中，平面 ACFD⊥平面 ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC

=2BC

．

（Ⅰ）证明：EF⊥DB；

（Ⅱ）求直线 DF 与平面 DBC 所成角的正弦值．

例4、【2020 年高考全国Ⅱ卷理数】如图，已知三棱柱 ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面 BB1C1C是矩形，

M，N分别为 BC，B1C1的中点，P为AM 上一点，过 B1C1和P的平面交 AB 于E，交 AC 于F．

（1）证明：AA1∥MN，且平面 A1AMN⊥平面 EB1C1F；

（2）设 O为△A1B1C1的中心，若 AO∥平面 EB1C1F，且 AO=AB，求直线 B1E与平面 A1AMN 所成角的正弦

值．

题型三、平面与平面所成的角

利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面 α，β 的法向量

1，

2时，要根据观察判断向量

在图形中的方向，从而确定二面角与向量

1，

2的夹角是相等还是互补，这是利用向量求二面角的难点、

易错点

例5、【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】如图，长方体 ABCD–A1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，点 E在棱 AA1上，

BE⊥EC1．

（1）证明：BE⊥平面 EB1C1；

（2）若 AE=A1E，求二面角 B–EC–C1的正弦值．

例6、【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】图 1是由矩形 ADEB，Rt△ABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，其中

AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与BF 重合，连结 DG，如图 2.

（1）证明：图 2中的 A，C，G，D四点共面，且平面 ABC⊥平面 BCGE；

（2）求图 2中的二面角 B−CG−A 的大小.

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