高考数学微专题复习（新高考地区专用）专题21 运用空间向量解决空间角（解析版）

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专题 21 运用空间向量解决空间角

一、题型选讲

题型一、异面直线所成的角以及

研究异面直线所成的角首先要注意交的范围，然后转化为有直线的方向向量的夹角。

例1、【2018 年高考江苏卷】如图，在正三棱柱 ABC−A1B1C1中，AB=AA1=2，点 P，Q分别为 A1B1，BC 的中

点．（1）求异面直线 BP 与AC1所成角的余弦值；

（2）求直线 CC1与平面 AQC1所成角的正弦值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】如图，在正三棱柱 ABC−A1B1C1中，设 AC ，A1C1的中点分别为 O，O1，则

OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以为基底，建立空间直角坐标系 O−xyz．

因为 AB=AA1=2，

所以．

（1）因为 P为A1B1的中点，所以，

从而，

故．

因此，异面直线 BP 与AC1所成角的余弦值为．

（2）因为 Q为BC 的中点，所以，

因此，．

设n=（x，y，z）为平面 AQC1的一个法向量，

则即

不妨取，

设直线 CC1与平面 AQC1所成角为，

则，

所以直线 CC1与平面 AQC1所成角的正弦值为．

例 2、(2019 南京学情调研）如图，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，已知底面 ABCD 的边长 AB＝3，侧棱

AA1＝2，E是棱 CC1的中点，点F满足AF＝2FB.

(1) 求异面直线 FE 和DB1所成角的余弦值；

(2) 记二面角 EB1FA 的大小为 θ，求|cosθ|.

规范解答在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，

以{DA，DC，DD1}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz.

因为 AB＝3，AA1＝2，

E是CC1的中点，AF＝2FB，

所以 E(0，3，1)，F(3，2，0)，B1(3，3，2). (2 分)

(1)从而FE＝(－3，1，1)，DB1＝(3，3，2)．

设异面直线 FE 和DB1所成的角为 α，

则cosα＝|cos〈FE，DB1〉|＝＝＝.

因此，异面直线 FE 和DB1所成角的余弦值为. (5 分)

(2)设平面 B1FE 的法向量为 n1＝(x，y，z)．

因为FE＝(－3，1，1)，FB1＝(0，1，2)，

由得所以

取z＝－3，则平面 B1FE 的一个法向量为 n1＝(1，6，－3)．(8 分)

又因为平面 AB1F的一个法向量为 n2＝(1，0，0)，

所以 cos〈n1，n2〉＝＝.

因此|cosθ|＝| cos〈n1，n2〉|＝. (10 分)

题型二、直线与平面所成的角

直线与平面所成的角是通过研究直线的方向向量和平面的法向量的所成的角，因此，要特别注意所求的角

与已求的角之间的关系。

例3、【2020 年高考浙江】如图，在三棱台 ABC—DEF 中，平面 ACFD⊥平面 ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC

=2BC

．

（Ⅰ）证明：EF⊥DB；

（Ⅱ）求直线 DF 与平面 DBC 所成角的正弦值．

【解析】（Ⅰ）如图，过点 D作，交直线 AC 于点，连结 OB

．

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