高考数学微专题复习（新高考地区专用）专题20 立体几何中的平行与垂直问题（解析版）

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专题 20 立体几何中的平行与垂直问题

一、题型选讲

题型一、线面平行与垂直

知识点拨：证明直线与平面的平行与垂直问题，一定要熟练记忆直线与平面的平行与垂直判定定理和性质

定理，切记不可缺条件。直线与平面的平行有两种方法：一是在面内找线；二是通过面面平行转化。直线

与平面垂直关键是找两条相交直线

例 1、(2019 南通、泰州、扬州一调）如图，在四棱锥 PABCD 中，M，N分别为棱 PA，PD 的中点．已知

侧面 PAD⊥底面 ABCD，底面 ABCD 是矩形，DA＝DP.

求证：(1)MN∥平面 PBC；

MD⊥平面 PAB.

【证明】(1)在四棱锥 P－ABCD 中，M，N分别为棱 PA，PD 的中点，所以 MN∥AD.(2 分)

又底面 ABCD 是矩形，所以 BC∥AD.所以 MN∥BC.(4 分)

又BC⊂平面 PBC，MN⊄平面 PBC，所以 MN∥平面 PBC. (6 分)

(2)因为底面 ABCD 是矩形，所以 AB⊥AD.又侧面 PAD⊥底面 ABCD，侧面 PAD∩底面 ABCD＝

AD，AB⊂底面 ABCD，所以 AB⊥侧面 PAD.(8 分)

又MD⊂侧面 PAD，所以 AB⊥MD.(10 分)

因为 DA＝DP，又 M为AP 的中点，从而 MD⊥PA. (12 分)

又PA，AB 在平面 PAB 内，PA∩AB＝A，所以 MD⊥平面 PAB.(14 分)

例 2、(2019 扬州期末）如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1中，四边形 AA1B1B为矩形，平面 AA1B1B⊥平面

ABC，点 E，F分别是侧面 AA1B1B，BB1C1C对角线的交点．

(1) 求证：EF∥平面 ABC；

(2) 求证：BB1⊥AC.

规范解答 (1)在三棱柱 ABCA1B1C1中，四边形 AA1B1B，四边形 BB1C1C均为平行四边形，E，F分别

是侧面 AA1B1B，BB1C1C对角线的交点，所以 E，F分别是 AB1，CB1的中点，所以 EF∥AC.(4 分)

因为 EF⊄平面 ABC，AC⊂平面 ABC，所以 EF∥平面 ABC.(8 分)

(2)因为四边形 AA1B1B为矩形，所以 BB1⊥AB.

因为平面 AA1B1B⊥平面 ABC，且平面 AA1B1B∩平面 ABC＝AB，BB1⊂平面 AA1B1B，

所以 BB1⊥平面 ABC.(12 分)

因为 AC⊂平面 ABC，所以 BB1⊥AC.(14 分)

例 3、(2019 南京、盐城二模）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，AB＝AC，A1C⊥BC1，AB1⊥BC1，D，E

分别是 AB1和BC 的中点．

求证：(1)DE∥平面 ACC1A1；

(2)AE⊥平面 BCC1B1.

规范解答 (1)连结 A1B，在三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1∥BB1且AA1＝BB1，所以四边形 AA1B1B是平

行四边形．

又因为 D是AB1的中点，所以 D也是 BA1的中点．(2 分)

在△BA1C中，D和E分别是 BA1和BC 的中点，所以 DE∥A1C.

又因为 DE⊄平面 ACC1A1，A1C⊂平面 ACC1A1，

所以 DE∥平面 ACC1A1.(6 分)

(2)由(1)知DE∥A1C，因为 A1C⊥BC1，所以 BC1⊥DE.(8 分)

又因为 BC1⊥AB1，AB1∩DE＝D，AB1，DE⊂平面 ADE，所以 BC1⊥平面 ADE.

又因为 AE⊂平在 ADE，所以 AE⊥BC1.(10 分)

在△ABC 中，AB＝AC，E是BC 的中点，所以 AE⊥BC.(12 分)

因为 AE⊥BC1，AE⊥BC，BC1∩BC＝B，BC1，BC⊂平面 BCC1B1，所以 AE⊥平面 BCC1B1. (14 分)

例 4、(2019 苏锡常镇调研）如图，三棱锥 DABC 中，已知 AC⊥BC，AC⊥DC，BC＝DC，E，F分别为

BD，CD 的中点．求证：

(1) EF∥平面 ABC；

(2) BD⊥平面 ACE.

. 规范解答 (1)三棱锥 DABC 中，因为 E为DB 的中点，F为DC 的中点，所以 EF∥BC，(3 分)

因为 BC⊂平面 ABC，EF⊄平面 ABC，

所以 EF∥平面 ABC.(6 分)

(2)因为 AC⊥BC，AC⊥DC，BC∩DC＝C，BC，DC⊂平面 BCD

所以 AC⊥平面 BCD，(8 分)

因为 BD⊂平面 BCD，所以 AC⊥BD，(10 分)

因为 DC＝BC，E为BD 的中点，所以 CE⊥BD，(12 分)

因为 AC∩CE＝C，AC，CE⊂平面 ACE，所以 BD⊥平面 ACE.(14 分)

例 5 、 (2019 苏州三市、苏北四市二调）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 BCC1B1为正方形，

A1B1⊥B1C1.设A1C与AC1交于点 D，B1C与BC1交于点 E.

求证：(1) DE∥平面 ABB1A1；

(2) BC1⊥平面 A1B1C.

规范解答 (1)因为三棱柱 ABCA1B1C1为直三棱柱，所以侧面 ACC1A1为平行四边形．又 A1C与AC1交

于点 D，所以 D为AC1的中点，同理，E为BC1的中点．所以 DE∥AB.(3 分)

又AB⊂平面 ABB1A1，DE⊄平面 ABB1A1，

所以 DE∥平面 ABB1A1.(6 分)

(2)因为三棱柱 ABCA1B1C1为直三棱柱，所以 BB1⊥平面 A1B1C1.

又因为 A1B1⊂平面 A1B1C1，所以 BB1⊥A1B1.(8 分)

又A1B1⊥B1C1，BB1，B1C1⊂平面 BCC1B1，BB1∩B1C1＝B1，所以 A1B1⊥平面 BCC1B1.(10 分)

又因为 BC1⊂平面 BCC1B1，所以 A1B1⊥BC1.(12 分)

又因为侧面 BCC1B1为正方形，所以 BC1⊥B1C.

又A1B1∩B1C＝B1，A1B1，B1C⊂平面 A1B1C，

所以 BC1⊥平面 A1B1C.(14 分)

例 6、(2017 苏北四市一模）如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，已知 D，E分别为 BC，B1C1的中点，点 F

在棱 CC1上，且 EF⊥C1D.求证：

(1) 直线 A1E∥平面 ADC1；

(2) 直线 EF⊥平面 ADC1.

规范解答

(1) 证法 1 连结 ED，因为 D，E分别为 BC，B1C1的中点，所以 B1E∥BD 且B1E＝BD，

所以四边形 B1BDE 是平行四边形，(2 分)

所以 BB1∥DE 且BB1＝DE.

又BB1∥AA1且BB1＝AA1，

所以 AA1∥DE 且AA1＝DE，

所以四边形 AA1ED 是平行四边形，所以 A1E∥AD.(4 分)

又因为 A1E⊄平面 ADC1，AD⊂平面 ADC1，所以直线 A1E∥平面 ADC1.(7 分)

证法 2 连结 ED ，连结 A1C，EC 分别交 AC1，DC1于点 M，N，连结 MN ，则因为 D，E分别为

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