高考数学微专题复习（新高考地区专用）专题19 几何体中与球有关的切、接问题（原卷版）

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专题 19 几何体中与球有关的切、接问题
球的截面的性质
(1)球的任何截面是圆面；(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面；(3)球心到截面的距离 d与球的
半径 R及截面的半径 r的关系为 r＝
几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为 a，球的半径为 R，①若球为正方体的外接球，则 2R＝a；②若球为正方体的内切球，
则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则 2R＝a.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a，b，c，外接球的半径为 R，则 2R＝.
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为 3∶1.
一、题型选讲
题型一 、几何体的外接球
解决多面体的外接球问题，关键是确定球心的位置，方法是先选择多面体中的一面，确定此面外接圆
的圆心，再过圆心作垂直此面的垂线，则球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点确定球心的准确位置．
对于特殊的多面体还可采用补成正方体或长方体的方法找到球心位置．
例1、【2020 年高考全国Ⅰ卷理数】已知 为球 的球面上的三个点，⊙ 为 的外接圆，
若⊙ 的面积为 ， ，则球 的表面积为
A． B．
C． D．
例2、【2020 年高考天津】若棱长为 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
A． B．
C． D．
例3、（2020 届山东省潍坊市高三上学期统考）已知边长为 2的等边三角形 ， 为 的中点，以
为折痕进行折叠，使折后的 ，则过 ， ， ， 四点的球的表面积为（ ）
1
A．B．C．D．
例4、（2020 届山东省日照市高三上期末联考）已知四棱锥 的体积是 ，底面 是正
方形， 是等边三角形，平面 平面 ，则四棱锥 外接球体积为（ ）
A．B．C．D．
例5、（2020 届山东省德州市高三上期末）中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时
期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三
角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知 平面 ，四边形
为正方形， ， ，若鳖臑 的外接球的体积为 ，则阳马
的外接球的表面积等于______.
题型二、几何体的内切球
求解多面体的内切球的问题，一般是将多面体分割为以球心为顶点，多面体的各面为底面的棱锥， 利
用多面体的体积等于各棱锥的体积之和求内切球的半径．
例6、【2020 年高考全国Ⅲ卷理数】已知圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内半径最大的球的体
积为_________．
例7、（2020 届山东省潍坊市高三上期中）如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为 1的正三角形构
成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的表面积为__________；若
该六面体内有一小球，则小球的最大体积为___________．
2
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