高考数学微专题复习（新高考地区专用）专题19 几何体中与球有关的切、接问题（解析版）

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专题 19 几何体中与球有关的切、接问题
球的截面的性质
(1)球的任何截面是圆面；(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面；(3)球心到截面的距离 d与球的
半径 R及截面的半径 r的关系为 r＝
几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为 a，球的半径为 R，①若球为正方体的外接球，则 2R＝a；②若球为正方体的内切球，
则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则 2R＝a.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a，b，c，外接球的半径为 R，则 2R＝.
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为 3∶1.
一、题型选讲
题型一 、几何体的外接球
解决多面体的外接球问题，关键是确定球心的位置，方法是先选择多面体中的一面，确定此面外接圆
的圆心，再过圆心作垂直此面的垂线，则球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点确定球心的准确位置．
对于特殊的多面体还可采用补成正方体或长方体的方法找到球心位置．
例1、【2020 年高考全国Ⅰ卷理数】已知 为球 的球面上的三个点，⊙ 为 的外接圆，
若⊙ 的面积为 ， ，则球 的表面积为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设圆 半径为 ，球的半径为 ，依题意，
得 ， 为等边三角形，
由正弦定理可得 ，
，根据球的截面性质 平面 ，
，
球 的表面积 .
故选：A.
1
本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.
例2、【2020 年高考天津】若棱长为 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，
即 ，
所以，这个球的表面积为 .
故选：C．
本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求多面
体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用
长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平
行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；
（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体
的球心.
例3、（2020 届山东省潍坊市高三上学期统考）已知边长为 2的等边三角形 ， 为 的中点，以
为折痕进行折叠，使折后的 ，则过 ， ， ， 四点的球的表面积为（ ）
2
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】边长为 2的等边三角形 ， 为 的中点，以 为折痕进行折叠，使折后的 ，
构成以 D为顶点的三棱锥，且三条侧棱互相垂直，可构造以其为长宽高的长方体，其对角线即为球的直径，
三条棱长分别为 1,1， ，所以 ，球面积 ，故选 C.
例4、（2020 届山东省日照市高三上期末联考）已知四棱锥 的体积是 ，底面 是正
方形， 是等边三角形，平面 平面 ，则四棱锥 外接球体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设 的中点为 ，因为 是等边三角形，所以 ，而平面 平面 ，
平面 平面 ，所以 平面 ，
四棱锥 的体积是 ，
，所以边长 ， ，设 ， ，
，
， ，
.
故选：A.
3
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