高考数学微专题复习（新高考地区专用）专题17 情境问题的探究之数列部分（原卷版）

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专题 17 情境问题的探究之数列部分
一、题型选讲
题型一 、数列额递推关系
例1、（2020 年西安三模）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以
解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“．
在某种玩法中，用 an表示解下 n（n≤9，n∈N*）个圆环所需的移动最少次数，若 a1＝1．且 an＝
，则解下 5个环所需的最少移动次数为（　　）
A．7 B．13 C．16 D．22
例2、【2020 年高考全国 II 卷理数】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心
有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌 9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 9块，下
一层的第一环比上一层的最后一环多 9块，向外每环依次也增加 9块，已知每层环数相同，且下层比中
层多 729 块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)
A．3699 块B．3474 块C．3402 块D．3339 块
例3、6、十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维
的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间 均分为三段，去掉中间的区间段
，记为第一次操作；再将剩下的两个区间 ， 分别均分为三段，并各自去掉中间的区间
段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，
同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分
1
集”．若使去掉的各区间长度之和不小于 ，则需要操作的次数 n的最小值为
（参考数据： ， ）
A．4 B．5 C．6 D．7
例4、（2020 年江苏南京雨花区期中模拟）九连环是中国最杰出的益智游戏．九连环有九个相互连接的环
组成，这九个环套在一个中空的长形柄中，九连环的玩法就是要将这九个环从柄上解下来，规则如下：
如果要解下（或安上）第 n号环，则第（n1﹣）号环必须解下（或安上），n1﹣往前的都要解下（或安
上 ） 才 能 实 现． 记 解 下 n连 环 所 需 的 最少 移 动 步 数 为 an， 已 知 a1＝1，a2＝2，an＝an1﹣+2an﹣
2+1（n≥3），则解六连环最少需要移动圆环步数为（　　）
A．42 B．85 C．256 D．341
题型二、数列的基本量问题
例5、（2019·湖南衡阳市八中高三月考（理））公元前 5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯
悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面 1000 米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的
10 倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了 1000 米，此时乌龟便领先他 100 米；当阿基里斯跑完下一个 100 米
时，乌龟仍然前于他 10 米.当阿基里斯跑完下一个 10 米时，乌龟仍然前于他 1米……，所以，阿基里斯永
远追不上乌龟.根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为 米时，乌龟爬行的总距离为（
）
A．B．C．D．
例6、（2020 届山东省泰安市高三上期末）我国古代的天文学和数学著作《周碑算经》中记载：一年有二
十四个节气，每个节气唇（guǐ）长损益相同（暑是按照日影测定时刻的仪器，暑长即为所测量影子的长
度），夏至、小署、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，
2
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