高考数学微专题复习（新高考地区专用）专题16 情境问题的探究之概率部分（解析版）

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专题 16 情境问题的探究之概率部分

一、题型选讲

题型一、通过列举法研究概率

例1、（2020 届山东省潍坊市高三上期中）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王

的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．现齐

王与田忌各出上等马、中等马、下等马一匹，共进行三场比赛，规定：每一场双方均任意选一匹马参赛，

且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜．则田忌获胜的概率为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】

设齐王的上等马、中等马、下等马分别为，，，

设田忌的上等马、中等马、下等马分别为，，，

每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜．

基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，

，，，，共 6个，

田忌获胜包含的基本事件有：，，，只有 1个，

田忌获胜的概率为．

故选：B.

例2、【2018 年高考全国Ⅱ卷理数】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．

哥德巴赫猜想是“每个大于 2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过 30 的素数中，

随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是

A．B．

C．D．

【答案】C

【解析】不超过 30 的素数有 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共 10 个，

随机选取两个不同的数，共有

C10

2=45

种方法，

因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于 30 的有 3种方法，

故所求概率为，故选 C．

古典概型中基本事件数的探求方法：（1）列举法；（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事

件的探求．对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法；（3）列表法：适用于

多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化；（4）排列组合法：

适用于限制条件较多且元素数目较多的题目．

例3、（2020•衡阳三模）洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳

上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑

点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中各随机选取 1个数，则选取的两数之和能被 5整除的概率

（　　）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】：阴数为：2，4，6，8，阳数为：1，3，5，7，9，

各选一个数，其和能被 5整除的分别为：2，3；4，1；6，9；8，7．

所以能被 5整除的概率，

故选：C．

例4、如图，《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院．有甲、乙两人想

根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶中的两个动作，每人模仿

一个动作，若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲只能模仿“爬”或“扶”且乙只能模仿

“扶”或“捡”的概率是

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】：有题意可知甲乙分别从爬、扶、捡、顶中的两个动作，共有 12 种

方法，若甲只能模仿“爬”或“扶”且乙只能模仿“扶”或“捡”有（爬，

扶）（爬，捡）（扶，捡）3中情况。

故

p=3

12 =1

题型二、与排列组合相关的概率

例5、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”

（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴

“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡

购物金额满 50 元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有 4名顾客都领取

一件礼品，则他们中有且仅有 2人领取的礼品种类相同的概率是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，

有4名顾客都领取一件礼品，基本事件总数 n＝34＝81，

他们中有且仅有 2人领取的礼品种类相同包含的基本事件个数 m36，

则他们中有且仅有 2人领取的礼品种类相同的概率是 p．

故选：B．

例6、（2020 届山东省德州市高三上期末）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了

十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉祥物各一

个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙

同学哪个吉祥物都喜欢，则让三位同学选取的礼物都满意的概率是（）

A．B．C．D．

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