高考数学微专题复习（新高考地区专用）专题15 情境问题的探究之立体几何部分（解析版）

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专题 15 情境问题的探究之立体几何部分

一、题型选讲

题型一、立体几何中的面积与体积

例1、【2020 年高考江苏】如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底

面正六边形边长为 2 cm，高为 2 cm，内孔半轻为 0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 ▲ cm.

【答案】

【解析】正六棱柱体积为，圆柱体积为，

所求几何体体积为 .故答案为：

本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题.

例2、【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长

方体挖去四棱锥 O—EFGH 后所得的几何体，其中 O为长方体的中心，E，F，G，H

分别为所在棱的中点，，3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm3，不考虑打

印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.

【答案】118.8

【解析】由题意得，，

∵四棱锥 O−EFGH 的高为 3cm， ∴ ．

又长方体的体积为，

所以该模型体积为，其质量为．

本题考查几何体的体积问题，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解．根据题

意可知模型的体积为长方体体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量即可.

例3、（2020 届山东省德州市高三上期末）中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时

期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三

角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形

为正方形，，，若鳖臑的外接球的体积为，则阳马

的外接球的表面积等于______.

【答案】

【解析】四边形是正方形，，即，且，，

所以，的外接圆半径为，

设鳖臑的外接球的半径，则，解得 .

平面，，可得， .

正方形的外接圆直径为，，

平面，所以，阳马的外接球半径，

因此，阳马的外接球的表面积为 .

故答案为： .

题型二、立体几何中的边长与角等基本量的研究

例4、【2020 年高考全国Ⅰ卷理数】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四

棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边

上的高与底面正方形的边长的比值为

A． B．C．D．

【答案】C

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