高考数学微专题复习（新高考地区专用）专题14 结构不良题型（数列）（解析版）

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专题 14 结构不良题型（数列）

结构不良题型是新课改地区新增加的题型，所谓结构不良题型就是给出一些条件，另外的条件题目中

给出三个，学生可以从中选择 1个或者 2个作为条件，进行解题。数列部分主要涉及到数列的求和以及与

不等式有关的问题。

一、题型选讲

题型一、数列中的求和问题

例1、（江苏省南京市 2021 届高三上学期期初学情调研）已知数列是公比为 2的等比数列，其前 n项

和为，（1）在① ，② ，③ ，这三个条件中任选一个，补充到上述

题干中．求数列的通项公式，并判断此时数列是否满足条件 P：任意 m，n，均为数

列中的项，说明理由；

（2）设数列满足，n，求数列的前 n项和．

注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

解：（1）选①，

因为 S1＋S3＝2S2＋2，

所以 S3－S2＝S2－S1＋2，即 a3＝a2＋2，

又数列{an}是公比为 2的等比数列，

所以 4a1＝2a1＋2，解得 a1＝1，

因此 an＝1×2n－1＝2n－1．

此时任意 m，n∈N*，aman＝2m－1·2n－1＝2m＋n－2，

由于 m＋n－1∈N*，所以 aman是数列{an}的第 m＋n－1项，

因此数列{an}满足条件 P．

选②，

因为 S3＝，即 a1＋a2＋a3＝，

又数列{an}是公比为 2的等比数列，

所以 a1＋2a1＋4a1＝，解得 a1＝，

因此 an＝×2n－1．

此时 a1a2＝＜a1≤an，即 a1a2不为数列{an}中的项，

因此数列{an}不满足条件 P．

选③，

因为 a2a3＝4a4，

又数列{an}是公比为 2的等比数列，

所以 2a1×4a1＝4×8a1，又 a1≠0，故 a1＝4，

因此 an＝4×2n－1＝2n＋1．

此时任意 m，n∈N*，aman＝2m＋1·2n＋1＝2m＋n＋2，

由于 m＋n＋1∈N*，所以 aman是为数列{an}的第 m＋n＋1项，

因此数列{an}满足条件 P．

（2）因为数列{an}是公比为 2的等比数列，

所以＝2，因此 bn＝n×2n－1．

所以 Tn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n×2，

则2Tn＝1×21＋2×22＋…＋(n－1)×2＋n×2，

两式相减得－Tn＝1＋21＋22＋…＋2－n×2

＝－n×2

＝(1－n)2－1，

所以 Tn＝(n－1)2＋1．

例 2、（湖北黄冈地区高三联考）已知函数（

为常数，且）．

（1）在下列条件中选择一个，使数列是等比数列，说明理由；

① 数列是首项为 2，公比为 2 的等比数列；

② 数列是首项为 4，公差为 2 的等差数列；

③ 数列是首项为 2，公差为 2 的等差数列的前

项和构成的数列．

（2）在（1）的条件下，当时，设，求数列的前

项和 .

【解析】（1）①③不能使成等比数列.② 可以：

由题意， ………1分

即，得，且， . ………3 分

常数且，为非零常数，

数列是以为首项，为公比的等比数列． ………4分

（2）由（1）知

an=k2n+2

，所以当时， . ………5 分

因为，

所以，所以， ………7分

. ……10 分

例 3、（2021 年辽宁锦州联考）在① ，② ，，③ 这三

个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．

设等差数列的前项和为，数列为等比数列，_____，．求数列的前

项和．

解：选①：

当时，，当时，，又满足，所以．设的公

比为，又因为，得，，所以；

由数列的前项和为，又可知，

数列的前项和为，

故．

选②：

设公差为，由解得

所以．设的公比为，又因为，得，，所

以．

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