高考数学微专题复习（新高考地区专用）专题11 圆锥曲线中的定点、定值问题（解析版）

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专题 11 圆锥曲线中的定点、定值问题

一、题型选讲

题型一、圆锥曲线中过定点问题

圆锥曲线中过定点问题常见有两种解法：（1）、求出圆锥曲线或直线的方程解析式，研究解析式，

求出定点·（2）、从特殊位置入手，找出定点，在证明该点符合题意（运用斜率相等或者三点共线）。

例1、【2020 年高考全国Ⅰ卷理数】已知 A、B分别为椭圆 E：（a>1）的左、右顶点，G为E

的上顶点，，P为直线 x=6 上的动点，PA 与E的另一交点为 C，PB 与E的另一交点为 D

．

（1）求 E的方程；

（2）证明：直线 CD 过定点.

【解析】（1）由题设得 A（–a，0），B（a，0），G（0，1）.

则， =（a，–1）.由=8 得a2–1=8，即 a=3.

所以 E的方程为 +y2=1．

（2）设 C（x1，y1），D（x2，y2），P（6，t）.

若t≠0，设直线 CD 的方程为 x=my+n，由题意可知–3<n<3.

由于直线 PA 的方程为 y=（x+3），所以 y1=（x1+3）.

直线 PB 的方程为 y=（x–3），所以 y2=（x2–3）.

可得 3y1（x2–3）=y2（x1+3）.

由于，故，可得，

即 ①

将代入得

所以，．

代入①式得

解得 n=–3（含去），n= .

故直线 CD 的方程为，即直线 CD 过定点（，0）．

若t=0，则直线 CD 的方程为 y=0，过点（，0）.

综上，直线 CD 过定点（，0）.

例2、（2020 届山东省临沂市高三上期末）如图，已知点 F为抛物线 C：（）的焦点，过

点F的动直线 l与抛物线 C交于 M，N两点，且当直线 l的倾斜角为 45°时， .

（1）求抛物线 C的方程.

（2）试确定在 x轴上是否存在点 P，使得直线 PM，PN 关于 x轴对称？若存在，求出点 P的坐标；若不存

在，请说明理由.

【答案】（1）（2）存在唯一的点，使直线 PM，PN 关于 x轴对称

【解析】

（1）当直线 l的倾斜角为 45°，则的斜率为 1，

，的方程为 .

由得 .

设，，则，

∴，，

∴抛物线 C的方程为 .

（2）假设满足条件的点 P存在，设，由（1）知，

①当直线 l不与 x轴垂直时，设 l的方程为（），

由得，

，

，.

∵直线 PM，PN 关于 x轴对称，

∴，，.

∴，

∴时，此时 .

②当直线 l与x轴垂直时，由抛物线的对称性，

易知 PM，PN 关于 x轴对称，此时只需 P与焦点 F不重合即可.

综上，存在唯一的点，使直线 PM，PN 关于 x轴对称.

例3、【2019 年高考北京卷理数】已知抛物线 C：x2=−2py 经过点（2，−1）．

（1）求抛物线 C的方程及其准线方程；

（2）设 O为原点，过抛物线 C的焦点作斜率不为 0的直线 l交抛物线 C于两点 M，N，直线 y=−1 分

别交直线 OM，ON 于点 A和点 B．求证：以 AB 为直径的圆经过 y轴上的两个定点．

【答案】（1）抛物线的方程为，准线方程为；（2）见解析.

【解析】（1）由抛物线经过点，得 .

所以抛物线的方程为，其准线方程为 .

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