高考数学微专题复习（新高考地区专用）专题10 圆锥曲线中的最值的问题（解析版）

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专题 10 圆锥曲线中的最值的问题

一、题型选讲

题型一、与线段有关的最值问题

与线段有关的最值问题关键是建立关于线段的目标函数，然后运用基本不等式或者函数有关的问题，

运用基本不等式或者函数求解。线段的长度可以通过两点间的距离或者利用相交弦长公式进行求解。

例1、（2020 届山东省日照市高三上期末联考）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，

为线段的中点，则（）

A．以线段为直径的圆与直线相离 B．以线段为直径的圆与轴相切

C．当时， D．的最小值为 4

【答案】ACD

【解析】对于选项 A，点到准线的距离为，于是以线段为直径的

圆与直线一定相切，进而与直线一定相离：

对于选项 B，显然中点的横坐标与不一定相等，因此命题错误.

对于选项 C，D，设，，直线方程为，联立直线与抛物线方程可得

，，，若设，则，于是

，最小值为 4；当可得，

，所， .

故选:ACD.

例2、（2020 届山东省泰安市高三上期末）已知抛物线的焦点为 F(4，0)，过 F作直线 l

交抛物线于 M，N两点，则 p=_______，的最小值为______．

【答案】

【解析】

∵抛物线的焦点为 F(4，0)，

∴，

∴抛物线的方程为，

设直线的方程为，设，，

由得，

∴，，

由抛物线的定义得

，

∴，

当且仅当即时，等号成立，

故答案为：．

例3（2019 南京、盐城一模）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，设点 M(x0，y0)是椭圆 C：＋y2＝1上的一点，

从原点 O向圆 M：(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2作两条切线分别与椭圆 C交于点 P，Q，直线 OP，OQ 的斜率分别

记为 k1，k2.

(1) 若圆 M与x轴相切于椭圆 C的右焦点，求圆 M的方程；

(2) 若r＝.

①求证：k1k2＝－；

②求OP·OQ 的最大值．

思路分析 1 第(2)问，注意到直线 OP，OQ 与圆相切，因此，利用圆心到直线的距离等于半径可得到

k1，k2与x0，y0的关系，利用点(x0，y0)在椭圆上，来求出 k1k2的值．由直线 OP，OQ 与椭圆相交，求出交

点的坐标，进而将 OP·OQ 表示为 k1，k2的代数式，根据 k1k2＝－，消去 k1(或k2)后，得到关于 k2(或k1)的函

数，利用基本不等式或函数求最值的方法，求出 OP·OQ 的最大值．

思路分析 2 对于第(2)问的第②小题，由点 P，Q在椭圆上以及 k1k2＝－，将 OP，OQ 表示为点 P，Q的

横坐标的形式，然后来求它的最值．

规范解答 (1) 因为椭圆 C右焦点的坐标为(，0)，所以圆心 M的坐标为，±，(2 分)

从而圆 M的方程为(x－)2＋y±2＝.(4 分)

(2) ①因为圆 M与直线 OP：y＝k1x相切，所以＝，

即(4－5x)k＋10x0y0k1＋4－5y＝0，(6 分)

同理，有(4－5x)k＋10x0y0k2＋4－5y＝0，

所以 k1，k2是方程(4－5x)k2＋10x0y0k＋4－5y＝0的两根，(8 分)

从而 k1k2＝＝＝＝－.(10 分)

②解法 1 设点 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立

解得 x＝，y＝，(12 分)

同理，x＝，y＝，

所以 OP2·OQ2＝＋·＋.

由①可知，k1k2＝－，所以原式＝·＝·(14 分)

≤＝，

当且仅当 k1＝±时取等号. 所以 OP·OQ 的最大值为. (16 分)

解法 2 设点 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由①知 k1k2＝－，

得＝－，16yy＝xx.(*)

因为 y＝1－，y＝1－代入(*)，整理得 x＋x＝4.(12 分)

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