高考数学微专题复习（新高考地区专用）专题09 圆锥曲线中的直线（线段）的问题（解析版）

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专题 09 圆锥曲线中的直线（线段）的问题

解析几何题的解题思路一般很容易觅得，实际操作时，往往不是因为难于实施，就是因为实施起来运

算繁琐而被卡住，最终放弃此解法，因此方法的选择特别重要．从思想方法层面讲，解决解析几何问题主

要有两种方法：．一般的，设线法是比较顺应题意的一种解法，它的参变量较少，目标集中，思路明确；

而设点法要用好点在曲线上的条件，技巧性较强，但运用的好，解题过程往往会显得很简捷．对于这道题，

这两种解法差别不是很大，但对于有些题目，方法选择的不同，差别会很大，因此要注意从此题的解法中

体会设点法和设线法的不同．

一、题型选讲

题型一、圆锥曲线中的线段的关系

例1、【2020 年高考北京】设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过

作于，则线段的垂直平分线

A．经过点 B．经过点

C．平行于直线 D．垂直于直线

【答案】B

【解析】如图所示：．

因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，

，所以线段的垂直平分线经过点 .

故选：B．

例2、(2019 南京学情调研）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且直线 l：x＝2

被椭圆 E截得的弦长为 2.与坐标轴不垂直的直线交椭圆 E于P，Q两点，且 PQ 的中点 R在直线 l上．点

M(1，0)．

(1) 求椭圆 E的方程；

(2) 求证：MR PQ.⊥

规范解答 (1)因为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率 e＝，所以 e2＝＝1－＝，即 a2＝2b2. (2 分)

因为直线 l：x＝2被椭圆 E截得的弦长为 2，

所以点(2，1)在椭圆上，即＋＝1.

解得 a2＝6，b2＝3，

所以椭圆 E的方程为＋＝1.(6 分)

(2)解法 1(设线法)　因为直线 PQ 与坐标轴不垂直，故设 PQ 所在直线的方程为 y＝kx＋m.

设 P(x1，y1)，Q(x2, y2) .

因为 PQ 的中点 R在直线 l：x＝2上，故 R(2，2k＋m)．

联立方程组

消去 y，并化简得 (1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0, (9 分)

所以 x1＋x2＝ .

由x1＋x2＝＝4，得 1＋2k2＝－km.(12 分)

因为 M(1，0)，故 kMR＝＝2k＋m，

所以 kMR·kPQ＝(2k＋m)k＝2k2＋km＝2k2－(1＋2k2)＝－1，所以 MR PQ.⊥(16 分)

解法 2(设点法) 设P(x1，y1)，Q(x2, y2)．

因为 PQ 的中点 R在直线 l：x＝2上，故设 R(2，t)．

因为点 P，Q在椭圆 E：＋＝1上，所以

两式相减得(x1＋x2) (x1－x2)＋2(y1＋y2) (y1－y2)＝0.(9 分)

因为线段 PQ 的中点为 R，所以 x1＋x2＝4，y1＋y2＝2t.

代入上式并化简得(x1－x2)＋t (y1－y2)＝0.(12 分)

又M(1，0)，

所以MR·PQ＝(2－1)×(x2－x1)＋(t－0)×(y2－y1)＝0，

因此 MR PQ.⊥(16 分)

用代数法处理圆锥曲线综合题的常见方法有两种：设点法、设线法．对于本题而言，两种方法都可以，

解题时把“设线法”与“直线斜率乘积为－1”结合，把“设点法”与“向量的数量积为 0”结合，其实颠倒

一下也可行．

例3、(2016 南京三模）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点

(2,1)在椭圆 C上．

(1) 求椭圆 C的方程；

(2) 设直线 l与圆 O：x2＋y2＝2相切，与椭圆 C相交于 P，Q两点.

①若直线 l过椭圆 C的右焦点 F，求△OPQ 的面积；

②求证： OP⊥OQ.

(1) 由e＝＝，得 a∶b∶c＝∶1 1∶，用 b表示 a更方便；

(2) ①设直线 l的方程为 y＝k(x－)，由直线 l与圆 O相切可先求出 k，再求出 PQ 的长即可．

②设l：y＝kx＋m，则只要证OP·OQ＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0.联列直线与椭圆方程可得

x1＋x2，x1x2均可用 k，m表示．由直线 l与圆 O相切，可得 k与m的关系式．

规范解答 (1) 由题意，得＝，＋＝1，解得 a2＝6，b2＝3.

所以椭圆的方程为＋＝1.(2 分)

(2) ①解法 1 椭圆 C的右焦点 F(，0)．

设切线方程为 y＝k(x－)，即 kx－y－k＝0，

所以＝，解得 k＝±，所以切线方程为 y＝±(x－)．当 k＝时，(4 分)

由方程组

解得或

所以点 P，Q的坐标分别为，，，，

所以 PQ＝.(6 分)

因为 O到直线 PQ 的距离为，所以△OPQ 的面积为.

因为椭圆的对称性，当切线方程为 y＝－(x－)时，△OPQ 的面积也为.

综上所述，△OPQ 的面积为.(8 分)

解法 2 椭圆 C的右焦点 F(，0)．

设切线方程为 y＝k(x－)，即 kx－y－k＝0，

所以＝，解得 k＝±，所以切线方程为 y＝±(x－)．当 k＝时，(4 分)

把切线方程 y＝(x－)代入椭圆 C的方程，消去 y得5x2－8x＋6＝0.

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则有 x1＋x2＝.

由椭圆定义可得，PQ＝PF＋FQ＝2a－e(x1＋x2)＝2×－×＝.(6 分)

因为 O到直线 PQ 的距离为，所以△OPQ 的面积为.

因为椭圆的对称性，当切线方程为 y＝－(x－)时，△OPQ 的面积为.

综上所述，△OPQ 的面积为.(8 分)

②解法 1 (i)若直线 PQ 的斜率不存在，则直线 PQ 的方程为 x＝或 x＝－.

当x＝时，P (， )，Q(，－)．

因为OP·OQ＝0，所以 OP⊥OQ.

当x＝－时，同理可得 OP⊥OQ.(10 分)

(ii)若直线 PQ 的斜率存在，设直线 PQ 的方程为 y＝kx＋m，即 kx－y＋m＝0.

因为直线与圆相切，所以＝，即 m2＝2k2＋2.

将直线 PQ 方程代入椭圆方程，得(1＋2k2) x2＋4kmx＋2m2－6＝0.

设P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，则有 x1＋x2＝－，x1x2＝.(12 分)

因为OP·OQ＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝(1＋k2)×＋km×＋m2.

将m2＝2k2＋2代入上式可得OP·OQ＝0，所以 OP⊥OQ.

综上所述，OP⊥OQ.(14 分)

解法 2 设切点 T(x0，y0)，则其切线方程为 x0x＋y0y－2＝0，且 x＋y＝2.

(i)当y0＝0时，则直线 PQ 的直线方程为 x＝或 x＝－.

当x＝时，P (， )，Q(，－)．

因为OP·OQ＝0，所以 OP⊥OQ.

当x＝－时，同理可得 OP⊥OQ.(10 分)

(ii)当y0≠0 时，

由方程组消去 y得(2x＋y)x2－8x0x＋8－6y＝0.

设P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，则有 x1＋x2＝，x1x2＝.(12 分)

所以OP·OQ＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋＝.

因为 x＋y＝2，代入上式可得OP·OQ＝0，所以 OP⊥OQ.

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