高考数学微专题复习（新高考地区专用）专题07 函数的零点问题（解析版）

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专题 07 函数的零点问题
一、题型选讲
题型一 、运用函数图像判断函数零点个数
可将零点个数问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像。
作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要
注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。
例1、(2019 苏州三市、苏北四市二调）定义在 R上的奇函数 f(x)满足 f(x＋4)＝f(x)，且在区间[2，4)上
f(x)=¿
{
2−x , 2≤x<3¿¿¿¿
则函数
y=f(x)−log5|x|
的零点的个数为
【答案】： 5　
【解析】：因为 f(x＋4)＝f(x)，可得 f(x)是周期为 4的奇函数，先画出函数f(x)在区间[2，4)上的图像，根
据奇函数和周期为 4，可以画出 f(x)在R上的图像，由 y＝f(x)－log5| x|＝0，得 f(x)＝log5| x|，分别画出 y＝
f(x)和y＝log5|x|的图像，如下图，由 f(5)＝f(1)＝1，而 log55＝1，f(－3)＝f(1)＝1，log5|－3|<1，而 f(－7)＝
f(1)＝1，而 log5|－7|＝log57>1，可以得到两个图像有 5个交点，所以零点的个数为 5.
本题考查了函数的零点问题，以及函数的奇偶性和周期性，考查了转化与化归、数形结合的思想，函数的
零数问题，常转化为函数的图像的交点个数来处理，其中能根据函数的性质作出函数的图像并能灵活地运
用图像，找到临界点是解题的关键也是难点．
例2、(2017 苏锡常镇调研）若函数 f(x)＝则函数 y＝|f(x)|－的零点个数为________．
【答案】：. 4　
【解析】设 g(x)＝，则由 g′(x)＝＝＝0，可得 x＝，所以 g(x)在(1，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减，
当x→＋∞时，g(x)→0，故 g(x)在(1，＋∞)上的最大值为 g()＝＞.在同一平面直角坐标系中画出 y＝|f(x)|与y
＝的图像可得，交点有 4个，即原函数零点有 4个．
例3、【2018 年高考全国Ⅲ卷理数】函数 在 的零点个数为________．
【答案】
1
【解析】 ， ，
由题可知 或 ，
解得 或 ，
故有 3个零点.
本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题.解题时，首先求出 的范围，再由函
数值为零，得到 的取值可得零点个数.
题型二、函数零点问题中参数的范围
已知函数零点的个数，确定参数的取值范围，常用的方法和思路：
(1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决，解法 2就是此法．它的本质就是将
函数转化为一个静函数与一个动函数的图像的交点问题来加以处理，这样就可以通过这种动静结合来方便
地研究问题．
(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．
例4、（2020 届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知 若函数 恰
有一个零点，则实数 k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】 时， ， ，所以函数 在 时有一个零点，从而在
时无零点，即 无解．
而当 时， ， ，它是减函数，值域为 ，
2
要使 无解．则 ．
故选：B.
例5、（2020·全国高三专题练习（文））函数 ，若方程 有且只
有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
令,画出 与 的图象,
平移直线,当直线经过 时只有一个交点,此时 ,向右平移,不再符合条件,故
故选：A
例6、【2020 年高考天津】已知函数 若函数 恰有 4个
零点，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
3
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