高考数学微专题复习（新高考地区专用）专题06 函数单调性的综合运用（解析版）

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专题 06 函数单调性的综合运用

一、题型选讲

题型一、运用构造法研究函数的单调性

通过构造函数，研究函数的单调性，特别注意构造打方法要研究函数的形式特点，构造适当的函数，

对于形式不明显的要给与变式。

例1、【2020 年高考全国 I卷理数】若，则

A．B．

C．D．

【答案】B

【解析】设，则为增函数，因为

所以，

所以，所以 .

，

当时，，此时，有

当时，，此时，有，所以 C、D错误.

故选：B．

本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题.

例2、（2020 届山东实验中学高三上期中）已知定义在

上的函数

 

f x

满足

   

2 2f x f x  

，且当

2x

时，有

       

2 , 1 1xf x f x f x f

 

  若

，则不等式

 

f x x



的解集是（）

A．

(2,3)

B．

 

,1

C．

   

1, 2 2,3

D．

   

,1 3,  

【答案】A

【解析】

根据题意，设

( ) ( 2) ( )g x x f x 

，则

   

1 1 1g f   

，

则有

(2 ) (2 )g x xf x  

，

(2 ) (2 )g x f x   

，即有

(2 ) (2 )g x g x   

，

故函数

( )g x

的图象关于

(2,0)

对称，

则有

   

3 1 1g g  

，

当

2x

时，

( ) ( 2) ( )g x x f x 

，

( ) ( 2) ( ) ( )g x x f x f x    

，

又由当

2x

时，

( ) ( ) 2 ( )x f x f x f x

 

 

，即当

2x

时，

( ) 0g x 

，

即函数

( )g x

在区间

(2, )

为增函数，

由

( ) 2

f x x



可得

( 2) ( ) 1x f x 

，即

   

1 3g x g 

，

2 3x  

，



函数

( )g x

的图象关于

(2,0)

对称，



函数

( )g x

在区间

( , 2)

为增函数，

由

( ) 2

f x x



可得

( 2) ( ) 1x f x 

，即

( ) 1g x 

，此时

不存在，

故选：

．

例3、（2018 徐州二模）已知函数（为自然对数的底数），若，

则实数的取值范围为．

【答案】

−1<x<3

【解析】

∵

，

∴

[

f(2x−1)−1

]

[

f(4−x2

)−1

]

>0,不妨令 g(x)=f(x)−1,则原式可化为： g（2x−1）+g(4−x2

)>0

g(x)

为奇函数且为增函数。

g(2x−1)>−g(4−x2

)=g(x2

−4).∴2x−1>x2

−4∴−1<x<3

题型二、给定区间的单调性

已知在某区间的单调性求参数范围问题，其思路为通过导数将问题转化成为不等式恒成立或不等式能

成立问题，进而求解，要注意已知函数单调递增（减）时，其导函数（），勿忘等号。

例4、（2020 届山东省潍坊市高三上学期统考）已知函数

   

4 5

f x x x a R

    

若

 

f x

在

 

, 

上是单调递增函数，求

的取值范围；

【解析】



 

f x

在

 

, 

上是单调递增函数,



在

x R

上，

 

2 4 0

f x x e

   



恒成立，即：

 

4 2

a x e 



设

   

4 2

h x x e 

Rx



   

2 2

h x x e 



，



当

 

,1x 

时

 

0h x



，



 

h x

在

 

,1x 

上为增函数，



当

 

1,x 

时

 

0h x



，



 

h x

在

 

1,x 

上为减函数，



   

max

1 2h x h e 



 

max

4 2

a x e

 

 

 



2a e

，即





2 ,a e 

例5、(2018 无锡期末）若函数 f(x)＝(x＋1)2|x－a|在区间[－1，2]上单调递增，则实数 a的取值范围是_____

___．

【答案】 (－∞，－1]∪　

【解析】由于条件中函数的解析式比较复杂，可以先通过代数变形，将其化为熟悉的形式，进而利用导数

研究函数的性质及图像，再根据图像变换的知识得到函数 f(x)的图像进行求解．

函数 f(x)＝(x＋1)2|x－a|＝|(x＋1)2(x－a)|＝|x3＋(2－a)x2＋(1－2a)x－a|.

令g(x)＝x3＋(2－a)x2＋(1－2a)x－a，则

g′(x)＝3x2＋(4－2a)x＋1－2a＝(x＋1)(3x＋1－2a)．

令g′(x)＝0得x1＝－1，x2＝.

① 当<－1，即 a<－1时，

令g′(x)>0，即(x＋1)(3x＋1－2a)>0，解得 x<或x>－1；令 g′(x)<0，解得<x<－1.

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