高考数学微专题复习（新高考地区专用）专题05 分段函数研究（解析版）

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专题 05 分段函数研究

一、题型选讲

题型一、分段函数的求值问题

由于分段函数的解析式与对应的定义域有关，因此求值时要代入对应的解析式。

含有抽象函数的分段函数，在处理里首先要明确目标，即让自变量向有具体解析式的部分靠拢，其次

要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）

例1、（2020 届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）设函数，则

（）

A．2 B．3 C．5 D．6

【答案】C

【解析】∵函数，

∴ ，

故选：C.

例2、(2019 南京三模）若函数 f(x)＝，则 f(log23)＝ ▲ ．

【答案】．

【解析】因为 1＜＜2，所以 f(log23)＝f(log23－2)＝.

例3、（2020 届浙江省杭州市建人高复高三 4月模拟）对于给定正数 k，定义，

设，对任意和任意恒有，则（）

A．k的最大值为 2 B．k的最小值为 2 C．k的最大值为 1 D．k的最小值为 1

【答案】B

【解析】因为对任意和任意恒有，

根据已知条件可得：对任意恒成立，

即，

，

当时有，即

故选：B

题型二、与分段函数有关的方程或不等式

含分段函数的不等式在处理上通常是两种方法：一种是利用代数手段，通过对进行分类讨论将不等式

转变为具体的不等式求解。另一种是通过作出分段函数的图象，数形结合，利用图像的特点解不等式

例4、【2018 年高考浙江】已知 λ∈R，函数 f(x)= ，当 λ=2 时，不等式 f(x)<0 的解集是_

__________．若函数 f(x)恰有 2个零点，则 λ的取值范围是___________．

【答案】(1,4)；

【解析】由题意得或，所以或，即，故不等

式f(x)<0 的解集是

当时，，此时，即在上有两个零点；

当时，，由在上只能有一个零点得

.综上，的取值范围为 .

例5、(2019 苏锡常镇调研）. 已知函数 f(x)＝若 f(a－1)＝，则实数 a＝________．

【答案】 log23　

【解析】当 a－1≤0，即 a≤1 时，f(a－1)＝log2(4－a)＝，解得 a＝4－(舍)；当 a－1>0，即 a>1 时，f(a－

1)＝2a－1－1＝，解得 a＝log23.

本题以分段函数为背景，考查指数及对数的基本运算及分类讨论的数学思想．

例6、(2019 苏北四市、苏中三市三调）已知函数则不等式的解集

为 ▲ ．

【答案】

【解析】：若，则，由得：

，故 .

若，则，由得：

，故 .

综上，不等式的解集为 .

题型三、分段函数的单调性

分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，

如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和

临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。

例7、已知函数，若在单调递增，则实数的取值范围是__

_______

【答案】

【解析】思路：若在单调增，则在上任取，均有，在任取中就

包含均在同一段取值的情况，所以可得要想在上单调增，起码每一段的解析式也应当是单调递增

的，由此可得：，但仅仅满足这个条件是不够的。还有一种取值可能为不在同一段取值，

若也满足，均有，通过作图可发现需要左边函数的最大值不大于右边函数的最小值。

代入，有左段右端，即

综上所述可得：

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