高考数学名校模拟专题01 解三角形（5月刊）（解答题）（新高考地区专用）（原卷版） (2)

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专题 01 解三角形（解答题）
试题精选
1、（江苏省扬州市 2021 届高三第四次模拟考试试题）（本小题满分 12 分）
在 中，角 ， ， 所对边分别为 ， ， ，现有下列四个条件： ， ，_____
______，
① ；② ；③ ；④ ．
（1）③④两个条件可以同时成立吗？请说明理由；
（2）请从上述四个条件中选三个，使得 有解，并求 的面积．
（注：如果选择多个组合作为条件分别解答，按第一个解答计分）
【解析】：
（1）若③④同时成立，则由
∴ ， ，由
即 ， ，此时 与三角形内角和为 矛盾
故③④不能同时成立.
（2）选①②③
由 ，
∴ ，∴ .
2、（湖南师大附中 2021 届高三下学期模拟试卷（二））（本小题满分 10 分）
1
在△
ABC
中，内角
A , B , C
的对边分别为
a , b , c ,
且
a>c
．已知
⃗
BA⋅
⃗
BC=2
，
cos B=1
3
，
，
求：
(1)
a
和
c
的值；
(2)
cos (B−C)
的值．
【解析】
(1)由
⃗
BA⋅
⃗
BC =2
，得
ca cos B=2
，
又
cos B=1
3
，所以
ac=6
，………………………………………………………2 分
由余弦定理，得
a2+c2=b2+2ac cos B
，
又
b=3
，所以
a2+c2=9+2×2=13
，
解
{
ac=6,
a2+c2=13 ,
得
a=2,c =3
或
a=3, c=2,
因为
a>c
，所以
a=3, c=2.
………………………………………………………5 分
(2)在△ABC 中，
sin B=
√
1−cos2B=
√
1−( 1
3)2=2
√
2
3
，…………………6 分
由正弦定理，得
sin C=c
bsin B=2
3×2
√
2
3=4
√
2
9
，
因为
a=b>c
，所以
C
为锐角，因此
cos C=
√
1−sin 2C=
√
1−( 4
√
2
9)2=7
9
，
……………………………………………………………………………………………8 分
于是
cos (B−C)=cos Bcos C+sin Bsin C=1
3×7
9+2
√
2
3×4
√
2
9=23
27 ⋅¿ ¿
…10 分
3、（盐城市 2021 届高三年级第三次模拟考试）在△ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，点 D
满足 3＝与
(1)若b＝c，求 A的值；
(2)求B的最大值．
【解析】
(1)因为＝0，所以(＋)＝0，
即(＋)＝0， ……2分
2
所以 bccosA＋b2＝0，
因为 b＝c，所以 cosA＝－， ……4分
因为 0＜A＜π，所以 A＝． ……5分
(2)因为＝(＋)＝bccosA＋b2＝0，
所以 b2＋c2－a2＋b2＝0，即 2b2＋c2－a2＝0， ……6分
cosB＝＝＝≥， ……8分
因为 0＜B＜π，所以 B的最大值为． ……10 分
4、（南京市 2021 届高三年级第三次模拟考试）已知四边形 ABCD 中，AC 与BD 交于点 E，AB＝2BC＝
2CD＝4．
（1）若∠ADC＝，AC＝3，求 cos∠CAD；
（2）若 AE＝CE，BE＝2，求△ABC 的面积．
【解析】：
(1)在△ACD 中，由正弦定理，得＝，
所以 sin∠CAD＝＝＝．··········································································2 分
因为 0＜∠CAD＜，
因此 cos∠CAD＝＝＝．··········································································4 分
(2)方法 1
设AE＝CE＝x，∠AEB＝α．
在△ABE 中，8＋x2－4xcosα＝16．①
在△BCE 中，8＋x2－4xcos(π－α)＝4，即 8＋x2＋4xcosα＝4．②·······················6 分
①② 相加，解得 x＝，即 AE＝CE＝．························································8 分
将x＝代入①，解得 cosα＝－．
因为 0＜α＜π，所以 sinα＝＝，
所以△ABC 的面积 S△ABC＝2S△ABE＝2×AE×BE×sinα
＝2×(××2×)＝．··················································10 分
方法 2
因为 AE＝CE，所以\s\up6(→)＝\f(1,2(\s\up6(→)＋\s\up6(→))，
两边平方得 4\s\up6(→)2＝\s\up6(→)2＋\s\up6(→)2＋2|\s\up6(→)|·|\s\up6(→)|cos∠ABC，
即32＝16＋4＋2×4×2cos∠ABC，
得cos∠ABC＝，又 0＜∠ABC＜π，
所以 sin∠ABC＝＝\f(,4．········································································8 分
所以△ABC 的面积 S△ABC＝\f(1,2AB·BC·sin∠ABC＝\f(1,2×4×2×\f(,4＝．·········10 分
3
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