高考数学二轮复习解题技巧汇总专题02 平面向量（新高考地区专用）（解析版）

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专题 02 平面向量
一：奔驰定理
1：奔驰定理内容---三角形的面积比等于其所对应的系数比
已 知
O
是
Δ ABC
内 的 一 点 ，
Δ BOC , Δ AOC , Δ AOB
的 面 积 分 别 为
SA
，
SB
，
SC
， 求 证 ：
SA¿
⃗
OA +¿SB¿
⃗
OB +¿SC¿
⃗
OC =
⃗
0¿ ¿
2.推导过程
证明方法一：如图延长
与
BC
边相交于点
D
则
BD
DC =SΔA BD
SΔ ACD
=SΔ BOD
SΔ COD
=SΔABD
−¿SΔ BOD
SACD −¿SΔCOD
=SC
SB
¿ ¿
⃗
OD=
DC
BC
⃗
OB
+
BD
BC
⃗
OC
=
SB
SB+SC
⃗
OB
+
SC
SB+SC
⃗
OC
∵
OD
OA =SBOD
SBOA
=SCOD
SCOA
=SBOD+SCOD
SBOA +SCOA
=SA
SB+SC
∴
⃗
OD=− SA
SB+SC
⃗
OA
∴
−SA
SB+SC
⃗
OA
=
SB
SB+SC
⃗
OB
+
SC
SB+SC
⃗
OC
∴
SA¿
⃗
OA +¿SB¿
⃗
OB +¿SC¿
⃗
OC =
⃗
0¿ ¿
技巧导图
技巧详讲
1
推论
O
是
Δ ABC
内的一点，且
x¿
⃗
OA +y⋅
⃗
OB +z⋅
⃗
OC =
⃗
0
，则
SΔ BOC :SΔCOA :SΔ AOB =¿x:y:z¿
D
O
A
B
C
二.极化恒等式
2.推导过程：
三．三角形的四心
1.推论
（1）重心：中线的交点，
①
O
是
Δ ABC
的重心
⇔
SΔ BOC :SΔCOA :SΔ AOB =¿1 : 1 : 1 ¿
⇔
⃗
OA +
⃗
OB +
⃗
OC =
⃗
0
②中线长度分成 2：1
③ =
2
（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等
①
O
是
Δ ABC
的内心
⇔
SΔ BOC :SΔCOA :SΔ AOB =¿a:b:c¿
⇔
a¿
⃗
OA +¿b¿
⃗
OB +¿c¿
⃗
OC =
⃗
0¿ ¿
②
（3）外心：
①
O
是
Δ ABC
的外心
⇔
SΔ BOC :SΔCOA :SΔ AOB =¿sin 2 A:sin 2 B:sin 2 C¿
⇔
sin 2 A¿
⃗
OA +¿sin 2 B¿
⃗
OB+¿sin 2C¿
⃗
OC =
⃗
0¿¿
O
3
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