高考数学大题精做专题04 三角函数与平面向量结合问题（原卷版）

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第一篇 三角函数与解三角形
专题 04 三角函数与平面向量结合问题
类型 对应典例
三角函数的定义与平面向量的运算相结合 典例 1
三角恒等变换与平面向量运算相结合 典例 2
三角函数的图象与平面向量相结合 典例 3
三角函数的性质与平面向量、不等式相结合 典例 4
三角函数图象的性质与平面向量运算相结合 典例 5
平面向量的数量积运算与三角函数相结合 典例 6
三角函数的性质与平面向量的数量积相结合 典例 7
【典例 1】【2021·浙江高三期末测试】在直角坐标系 中，单位圆 O的圆周上两动点 满足
（如图），C坐标为 ，记
（1）求点 A与点 B纵坐标差 的取值范围；
（2）求 的取值范围；
【思路引导】（1）根据三角函数的定义写出点 A与点 B纵坐标，从而将 表示成关于 的三角函数；
1
（2）写出向量数量积的坐标运算，即 ，再利用三角函数的有界性，即可得答案；
【典例 2】【2021·江苏省新海高级中学高三期末】
已知向量 ， ， ．
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 的值．
【思路引导】（1）根据 得到关于 的方程，结合 求解出 的值，由此确定出 的
值，则 的值可求；
（2）将等式 两边同时平方，通过化简先求解出 的值，再根据 与 的关
系，采用角的配凑以及两角和的正弦公式求解出 的值.
【典例 3】【2021·广西桂林中学高三期末测试】
2
向量 ， ，函数 ．
（1）求函数 的最小值，并求出 取最小值时 x的值；
（2）先将函数 的图像向左平移 个单位，再将横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，得函数
的图像，求 的单减区间．
【思路引导】（1）利用向量数量积公式，再利用降幂公式和辅助角公式化简函数 ，
再求函数的最小值及其 的值；（2）利用图象变换规律，求函数 的解析式，再求函数的单减区间.
【典例 4】【河南省信阳市 2019-2020 学年高三第一次教学质量检测】
已知函数 ，其中向量 ， ， ，
.
（Ⅰ）若 ， ，求 的值；
（Ⅱ）不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
【思路引导】
(Ⅰ)利用向量数量积公式得到 后,再用二倍角公式以及两角和的正弦公式的逆用公式化成辅助角的形式,
3
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