高考导数压轴题综合应用(五)——导数与函数零点

3.0 envi 2025-04-11 17 4 591.62KB 13 页 3知币

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【知识梳理】

1.确定函数 f(x)零点个数(方程 f(x)＝0的实根个数)的方法：

(1)判断二次函数 f(x)在R上的零点个数，一般由对应的二次方程 f(x)＝0的判别式 Δ＞0，Δ＝0，Δ＜

0来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断

．

(2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，还必须结合函数的图象和性质才能

确定，如三次函数的零点个数问题

．

(3)若函数 f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又 f(a)·f(b)＜0，则 y＝f(x)在

区间(a，b)内有唯一零点

．

2.导数研究函数图象交点及零点问题\

利用导数来探讨函数

y=f(x)

的图象与函数

y=g(x)

的图象的交点问题，有以下几个步骤：

① 构造函数

h(x)=f(x)−g(x)

；

② 求导

h ' (x)

；

③ 研究函数

h(x)

的单调性和极值（必要时要研究函数图象端点的极限情况）；

④ 画出函数

h(x)

的草图，观察与

轴的交点情况，列不等式；

⑤ 解不等式得解.

探讨函数

y=f(x)

的零点个数，往往从函数的单调性和极值入手解决问题，结合零点存在性定理求

解.

【典型例题】

1．函数 .

（1）讨论函数的极值；（2）当时，求函数的零点个数.

解：（1）由题意，函数，可得，

当时，，在上为单调增函数，此时无极值；

当时，令，解得，

所以在上为单调增函数，

令，解得，在上为单调减函数，

所以当时，函数取得极小值，无极大值.

综上所述：当时，无极值，当时，，无极大值.

（2）由（1）知当时，在上为单调增函数，在上为单调减函数，且

，

又由，若时，；若时，；

当，即时，无零点；

当，即时，有 1个零点；

当，即时，有 2个零点.

综上：当时，无零点；当时，有 1个零点；当时，有 2个零点.

2．已知函数。

（1）求函数 f(x)的单调递增区间；

（2）若函数 f(x)有三个零点，求实数的取值范围.

解：(1) ，则 f′(x)＝3x2＋2x－1，由 f′(x)>0，得 x<－1或x>，

所以函数 f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和.

（2）由（1）知，在取得极大值，在取得极小值

函数 f(x)有三个零点，解得实数的取值范围 .

3．已知 .

（1）当时，求的单调区间（2）若 f(x)存在 3个零点，求实数 a的取值范围.

解：（1）当时，

由，得，由，得，所以在单调递减，在上单调递增

（2）由函数，

可得有一个零点，要使得有 3个零点，即方程有 2个实数根，

又由方程，可化为，

令，即函数与图象有两个交点，

令，得，

的单调性如表：

－－ 0＋＋

↘ ↘ 极小值 ↗ ↗

所以函数在处取得极小值 2e，

当时，，又，的大致图象如图，

由函数与图象有两个交点，根据图象可得

所以要使得有 3个零点，则实数的取值范围为

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