高二数学专题14 圆锥曲线中的定值、定点、探索性问题（重难点突破）解析版

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专题 14 圆锥曲线中的定值、定点与探索性问题
一、考情分析
1.点问题在 2019
全国
III
理
21
中出现，虽然以往全国卷高考题中出现较少，是圆锥曲线部分的小概
率考点．但是在 2019 年出现，所以在 2020 年备考一定引起重视。定点问题是比较常见出题形式，题目属
于中等偏简单题目。采取常规平民化解法，计算是暴力美学范畴。化解这类问题的关键就是引进变的参数
表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．
2.在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无
关，这类问题统称为定值问题．对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高,这些问题重点考查学生方程思
想、函数思想、转化与化归思想的应用．为了提高同学们解题效率,特别是高考备考效率,本文列举了一些
典型的定点和定值问题,以起到抛砖引玉的作 用．
探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：
① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；
② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，
最后消元得出定值
二、学法指导与考点梳理
【直线过定点的解题策略】
（1）如果题设条件没有给出这个定点，那么，我们可以这样思考：由于这个定点对符合要求的一些特殊
情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定点，再证明这个点与变量无关.
（2）直接推理、计算，找出参数之间的关系，并在计算过程中消去部分参数，将直线方程化为点斜式方
程，从而得到定点.
（3）若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线方程特征与参数方程满足的方程
的特征，即可找出直线所过顶点坐标，并带入直线方程进行检验.注意到繁难的代数运算是此类问题的特
点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.
【重要结论】
1．动直线
l
过定点问题，设动直线方程(斜率存在)为
y
＝
kx
＋
t
，由题设条件将
t
用
k
表示为
t
＝
mk
，得
y
＝
k
(
x
＋
m
)，故动直线过定点(－
m
，0)．
2．动曲线
C
过定点问题，引入参变量建立曲线
C
的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得
1
出定点．
3.“弦对定点张直角”-圆锥曲线如椭圆上任意一点 P 做相互垂直的直线交圆锥曲线于 AB，则 AB 必过定点
(x0(a2−b2)
a2+b2,y0(a2−b2)
a2+b2)
．
4.只要任意一个限定AP 与BP 条件（如
kAP⋅kBP=
定值，
kAP+kBP=
定值），直线 AB 依然会过定点
【定值问题的常见类型及解题策略】
(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值；
(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形
求得；
(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对 解析式进行化简、变形即可求得．
【 知识拓展 】
1.设点 是椭圆C：上一定点，点 A,B 是椭圆C上不同于 P的两点，若
，则 时直线 AB 斜率为定值 ，若 ，则直线 AB 过定点
；
2. 设点 是双曲线 C： 一定点，点 A,B 是双曲线 C上不同于 P的两点，若
，则 时直线 AB 斜率为定值 ，若 ，则直线 AB 过定点
；
3. 设点 是抛物线C： 一定点，点 A,B 是抛物线C上不同于 P的两点，若
，则 时直线 AB 斜率为定值 ，若 ，则直线 AB 过定点
；
2
三、重难点题型突破
重难点题型突破 1 定点问题
例 1.在平面直角坐标系
xOy
中，已知椭圆
2
2
: 1
3
x
C y 
．如图所示，斜率为
( 0)k k＞
且不过原
点的直线
交椭圆
C
于
A
，
B
两点，线段
AB
的中点为
E
，射线
OE
交椭圆
C
于点
G
，交直线
3x 
于
( 3, )D m
．
（Ⅰ）求
2 2
m k
的最小值；
（Ⅱ）若
2
OG OD
∙
OE
，
（i）求证：直线
过定点；
（ii）试问点
B
，
G
能否关于
x
轴对称？若能，求出此时
ABG
的外接圆方程；若不能，请说明理由．
【解析】（Ⅰ）设直线 ，由题意， 由方程组得
，由题意 ，所以
设 ，由韦达定理得
所以 由于 E为线段AB 的中点，因此
此时所以 OE 所在直线方程为 又由题设知D（－3，m），
令=－3，得 ，即 =1，所以
3
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