高二数学专题14 圆锥曲线中的定值、定点、探索性问题（课时训练）解析版

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专题 14 圆锥曲线中的定值、定点与探索性问题
1、设 A、B 是轨迹 ： 上异于原点 的两个不同点，直线 和 的倾斜角分别为
和 ，当 变化且 时，证明直线 恒过定点，并求出该定点的坐标．
， 所以 直线 的 斜率 存在 ，否 则， OA ，OB 直 线的 倾斜 角之 和为
奎屯
王新敞
新疆
从而 设 AB 方程 为
，显然 ，
将 与 联立消去 ，得
由韦达定理知 ①
由 ，得 1＝ = =
将①式代入上式整理化简可得： ，所以 ，
此时，直线 的方程可表示为 即
所以直线 恒过定点 ．
1,088)(8)()( 12
2
112112 xyxyyyyxyyyyyy
所以直线 PQ 过定点(1，0)
2、已知抛物线
C
的顶点为原点，其焦点
 
0, 0F c c
到直线
l
:
的距离为
3 2
2
．设
P
为
直线
l
上的点，过点
P
作抛物线
C
的两条切线
,PA PB
，其中
,A B
为切点．
(Ⅰ) 求抛物线
C
的方程;
(Ⅱ) 当点
 
0 0
,P x y
为直线
l
上的定点时，求直线
AB
的方程;
(Ⅲ) 当点
P
在直线
l
上移动时，求
AF BF
的最小值．
1
联立方程
0 0
2
2 2 0
4
x x y y
x y
 
，消去
x
整理得
 
2 2 2
0 0 0
2 0y y x y y  
由一元二次方程根与系数的关系可得
2
1 2 0 0
2y y x y 
，
2
1 2 0
y y y
所以
 
2 2
1 2 1 2 0 0 0
1 2 1AF BF y y y y y x y  
又点
 
0 0
,P x y
在直线
l
上，所以
0 0
2x y 
，
所以
2
2 2 2
0 0 0 0 0 0
1 9
2 1 2 2 5 2 2 2
y x y y y y
 
 
 
 
所以当
0
1
2
y 
时，
AF BF
取得最小值，且最小值为
9
2
．
3、已知椭圆系方程 ： ( ， )， 是椭圆 的焦点，
是椭圆 上一点，且 .
（1）求 的方程；[来源:学科网]
（2）为椭圆 上任意一点，过 且与椭圆 相切的直线 与椭圆 交于 ， 两点，点 关于原
2
点的对称点为 ，求证： 的面积为定值，并求出这个定值．
【解析】（1）由题意得椭圆 的方程为 ： ，即 ．
∵ ．∴ ，又 为椭圆 上一点，∴ ．
，即 ，又 ， ,
∴椭圆 的方程为 ．
（2）解：①当直线 斜率存在时，设 方程为 ,
由 消去 y整理得 ，
∵直线 与椭圆 相切，∴ ，整理得 ．
设 ，则 ，且 ，∴点 到直线 的距离 ，
同理由 消去 y整理得 ，
设 ，则 ，
3
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