高二数学专题13 圆锥曲线中的范围、最值问题（课时训练）解析版

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专题 13 圆锥曲线中的范围、最值问题

【基础巩固】

1．已知直线

1: 4 3 6 0l x y  

和直线

2: 1l x  

,抛物线

4y x

上一动点

到直线

和直线

的距离之和

的最小值是 ( )

A.2 B.3 C.

【答案】A

【解析】: 是抛物线的准线，点

到直线

的距离等于点到焦点的距离，即在抛物线上找一点到焦点

的距离与到的距离之和最小，只需过焦点向作垂线，与抛物线的交点为所求的点，最小值为到直

线

1: 4 3 6 0l x y  

的距离，即最小值为 2，选 A。

2．（2020 届湖南省常德市高三模拟）已知圆

2 2

2 2 0x y x y a    

截直线

4 0x y  

所得弦的长度

小于 6，则实数

的取值范围为（）

A．

 

2 17, 2 17 

B．

 

2 17, 2

C．

 

15, 

D．

 

15, 2

【答案】D

【解析】由题意知，圆的方程为：

   

2 2

1 1 2x y a    

，则圆心为

 

1, 1

，半径为

2a

则：

2 0a 

，解得：

2a

，圆心到直线

4 0x y  

的距离为：

1 1 4 2 2

d 

 

2 2 8 6a   

，解得：

15a 

综上所述：

 

15, 2a 

本题正确选 D。

3．（2020 届陕西省咸阳市高三第二次模拟）抛物线

2 ( 0)x py p 

的焦点与双曲线

2 2

16 9

x y

 

的右焦点的

连线垂直于双曲线的一条渐近线，则

的值为（）.

A．

B．

C．

D．

8 7

【答案】A

【解析】抛物线

2 ( 0)x py p 

的焦点坐标为

0, 2

 

 

 

，双曲线

2 2

16 9

x y

 

的右焦点坐标为

(5,0)

,两焦点的

连线的方程为

( 5)

y x  

，

又双曲线的渐近线方程为

y x=±

，所以

10 4

   

，解得

p

，故选 A。

4．（2020 届四川省泸州市高三二诊）已知椭圆

2 2

: 1

x y

Ca b

 

的短轴长为 2，焦距为

1 2

2 3 F F，、

分别

是椭圆的左、右焦点，若点

为

上的任意一点，则

1 2

1 1

PF PF



的取值范围为（）

A．

 

1, 2

B．

2, 3

 

 

C．

2, 4

 

 

D．

 

1, 4

【答案】D

【解析】由题设有

1, 3b c 

，故

2a

，故椭圆

: 1

C y 

，

因为点

为

上的任意一点，故

1 2

4PF PF 

又

 

1 2

1 2 1 2 1 2 1 1

1 1 4 4

PF PF

PF PF PF PF PF PF PF PF



   

，

因为

2 3 2 3PF   

，故

 

1 1

1 4 4PF PF  

，

所以

1 2

1 1

1 4

PF PF

  

.，故选 D。

5．过双曲线的右支上一点 ,分别向圆：和圆：作切

线,切点分别为 , ,则的最小值为（）

A．10 B．13 C．16 D．19

【答案】B

【解析】由题可知,

|PM|

2−|PN|2=(|PC1|2−4)−(|PC2|

2−1)

,因此

 3||||||||

PCPCPNPM

故选 B．

6．已知点为椭圆的左焦点，直线与相交于两点（其

中在第一象限），若，，则的离心率的最大值是____．

【答案】

【解析】设右焦点为 ,连接 ,由椭圆对称性知四边形为平行四边形，又

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