高二数学专题12 圆锥曲线之离心率、中点弦问题（重难点突破）解析版

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专题 12 圆锥曲线之离心率、中点弦问题
一、知识结构思维导图
二、学法指导与考点梳理
1.在求椭圆 离心率范围时常用的不等关系： ， ，
（P为椭圆上一点），
2.在双曲线 中， ，
3.点差法
第一步：若
A(x1, y1)
，
B(x2, y2)
是椭圆
x2
a2+y2
b2=1（a>b>0）
上不重合的两点，则
{
x12
a2+
y12
b2=1¿¿¿¿
，
第二步：两式相减得
（x1+x2）(x1−x2）
a2+(y1+y2)( y1−y2)
b2=0
，
第 三 步 ：
y1−y2
x1−x2
是 直 线
AB
的 斜 率
，
（x1+x2
2,y1+y2
2）
是 线 段
AB
的 中 点
（x0, y0）
， 化 简 可 得
y1+y2
x1+x2
⋅y1−y2
x1−x2
=− b2
a2
⇒y0
x0
⋅k=− b2
a2
，此种方法为点差法。
若
AB
是椭圆
x2
a2+y2
b2=1（a>b>0）
上不垂直于 x轴的两点，
P
是
AB
的中点，
O
为椭圆的中心，则直
1
线
AB
与
OP
的斜率之积为定值
−b2
a2
三、重难点题型突破
(一) 根据椭圆或双曲线自身的性质求离心率
例1、已知
1 2
,F F
分别为双曲线 的左、右焦点,P 为双曲线右支上的任意一点,若
2
1
2
PF
PF
的最小值为 8
a
,则双曲线的离心率
e
的取值范围是（ ）
A．
1,3
B．
1, 3
C．
3, 3
 
 
D．
3,
【答案】A
【解析】本题以双曲线为素材,综合考查双曲线的离心率和函 数的最值,难度中等．设 ,则
,．又 ,当且仅当 时,等号成立．所以
,所以 ．故选 A．
【变式训练 1-1】、已知二次曲线 ,则当 时,该曲线的离心率 的取值范围是（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由当 时,二次曲线为双曲线,双曲线 即为 ,且,
2
则,即有 ,故选 C.
【变式训练 1-2】、设 为椭圆 的左、右焦点,且,若椭圆上存在点
使得 ,则椭圆的离心率的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
(二) 借助平面几何图形中与题目中的不等关系求离心率
例2、已知椭圆 上 一点 关于原点 的对称点为 为其右焦点,若 设
且 则椭圆离心率的取值范围是　 　.
【答案】
【变式训练 2-1】、已知两定点 和 ,动点 在直线 上移动,椭圆 以
为焦点且经过点 ,则椭圆 的离心率的最大值为（ ）
3
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