高二数学专题12 圆锥曲线之离心率、中点弦问题（课时训练）解析版

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专题 12 圆锥曲线之离心率、中点弦问题
【基础巩固】
1．（2020·北京市西城区高三一模）设 则以线段 为直径的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】 的中点坐标为： ，圆半径为 ，圆方程为 ，
故选 A。
2．（2020 届安徽省“江南十校”高三综合素质检测）已知点 是双曲线
上一点，若点 到双曲线 的两条渐近线的距离之积为 ，
则双曲线 的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【解析】设点 的坐标为 ，有 ，得 .
双曲线的两条渐近线方程为 和 ，则点 到双曲线 的两条渐近线的距离之积为
，
1
所以 ，则 ，即 ，故 ，即 ，所以
.
故选 A。
3．（2020 届湖南省岳阳市高三第二次教学质量检测）已知双曲线 的左右焦点为
，过 作 轴的垂线与 相交于 两点， 与 轴相交于 .若 ，则双曲线 的离
心率为_________.
【答案】
【解析】 ,，又 ，则 .
， ， ，即
解得 ，即 。
4．（2020·北京市西城区高三一模）设双曲线 的一条渐近线方程为 ，则该双
曲线的离心率为____________.
【答案】
【解析】 ，一条渐近线方程为： ，故 ， ， .
故答案为 。
5.若直线 过抛物线 的焦点,与抛物线交于 A,B 两点,且线段 AB 中点的横坐标为 2,求线段 AB 的长.
2
【解析】:
AB=x1+x2+p=6
。
6．已知斜率为 的直线 与椭圆 ： 交于 ， 两点，线段 的中点为 ．
(1)证明： ；
(2)设 为 的右焦点， 为
C
上一点，且 ．证明： ， ， 成等差数列，
并求该数列的公差．
【解析】(1)设 ， ，则 ， ．
两式相减，并由 得 ．
由题设知 ， ，于是 ．①由题设得 ，故 ．
(2)由题意得 ，设 ，则 ．
由(1)及题设得 ， ．
又点 在 上，所以 ，从而 ， ．
于是 ．同理 ．
所以 ．故 ，即 ， ， 成等差数列．
设该数列的公差为 ，则 ．②
3
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