高二数学专题09 双曲线及其方程（重难点突破）原卷版

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专题 09 双曲线及其方程
一、知识结构思维导图
二、学法指导与考点梳理
考点一 双曲线的定义
平面内与两个定点 F1，F2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲
线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合 P＝{M＝2a}，＝2c，其中 a，c为常数，且 a>0，c>0.
(1)当a＜c时，点 P的轨迹是双曲线；
(2)当a＝c时，点 P的轨迹是两条射线；
(3)当a＞c时，点 P不存在．
考点二 双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1(
a
＞0，
b
＞0) －＝1(
a
＞0，
b
＞0)
1
图形
性
质
范围
x
≥
a
或
x
≤－
a
，
y
∈R
y
≤－
a
或
y
≥
a
，
x
∈R
对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点
A
1(－
a,
0)，
A
2(
a,
0)
A
1(0，－
a
)，
A
2(0，
a
)
渐近线
y
＝±
x
y
＝±
x
离心率
e
＝　　，
e
∈(1，＋∞)
a
，
b
，
c
的关
系
c
2＝
a
2＋
b
2
实虚轴
线段
A
1
A
2叫做双曲线的实轴，它的长＝2
a
；线段
B
1
B
2叫做双曲线的
虚轴，它的长＝2
b
；
a
叫做双曲线的实半轴长，
b
叫做双曲线的虚半
轴长
考点三、常用结论
1、过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为，也叫通径．
2、与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．
3、双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b.
4、若 P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|
PF2|min＝c－a.
三、重难点题型突破
重难点题型突破一 双曲线的定义及其应用
例1、(1)（华东师范大学附中 2019 届模拟）(1)设F1，F2是双曲线 x2－＝1的两个焦点，P
是双曲线上的一点，且 3＝4，则△PF1F2的面积等于(　　)
A．4 B．8
C．24 D．48
(2)设双曲线－＝1的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直线 l交双曲线左支于 A，B两点，
则|BF2|＋|AF2|的最小值为__________．
【变式训练 1】、(1)已知 F是双曲线 C：x2－＝1的右焦点，P是C左支上一点，A(0，6)，
2
当△APF 周长最小时，该三角形的面积为____．
(2).已知 是双曲线 上一点， 是左焦点， 是右支上一点， 与
的内切圆切于点 ，则 的最小值为 ( )
A．B．C．D．
重难点题型突破二 双曲线的标准方程
例2、　根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)虚轴长为 12，离心率为；
(2)焦距为 26，且经过点 M(0,12)；
(3)经过两点 P(－3,2)和Q(－6，－7)．
【变式训练 1】、(1)已知 ， 分别为双曲线 ： 的左，右焦点，
点 是 右支上一点，若 ，且 ，则 的离心率为（ ）
A．B．4 C．5 D．
(2)过双曲线 的左焦点 作圆 的切线交双曲线的右支于
点 ，且切点为 ，已知 为坐标原点， 为线段 的中点（ 点在切点 的右侧），
3
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