高二数学专题09 双曲线及其方程（重难点突破）解析版

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专题 09 双曲线及其方程
一、知识结构思维导图
二、学法指导与考点梳理
考点一 双曲线的定义
平面内与两个定点 F1，F2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲
线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合 P＝{M＝2a}，＝2c，其中 a，c为常数，且 a>0，c>0.
(1)当a＜c时，点 P的轨迹是双曲线；
(2)当a＝c时，点 P的轨迹是两条射线；
(3)当a＞c时，点 P不存在．
考点二 双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1(
a
＞0，
b
＞0) －＝1(
a
＞0，
b
＞0)
1
图形
性
质
范围
x
≥
a
或
x
≤－
a
，
y
∈R
y
≤－
a
或
y
≥
a
，
x
∈R
对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点
A
1(－
a,
0)，
A
2(
a,
0)
A
1(0，－
a
)，
A
2(0，
a
)
渐近线
y
＝±
x
y
＝±
x
离心率
e
＝　　，
e
∈(1，＋∞)
a
，
b
，
c
的关
系
c
2＝
a
2＋
b
2
实虚轴
线段
A
1
A
2叫做双曲线的实轴，它的长＝2
a
；线段
B
1
B
2叫做双曲线的
虚轴，它的长＝2
b
；
a
叫做双曲线的实半轴长，
b
叫做双曲线的虚半
轴长
考点三、常用结论
1、过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为，也叫通径．
2、与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．
3、双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b.
4、若 P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|
PF2|min＝c－a.
三、重难点题型突破
重难点题型突破一 双曲线的定义及其应用
例1、(1)（华东师范大学附中 2019 届模拟）(1)设F1，F2是双曲线 x2－＝1的两个焦点，P
是双曲线上的一点，且 3＝4，则△PF1F2的面积等于(　　)
A．4 B．8
C．24 D．48
(2)设双曲线－＝1的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直线 l交双曲线左支于 A，B两点，
则|BF2|＋|AF2|的最小值为__________．
【答案】(1)C　(2)10
2
【解析】(1)双曲线的实轴长为 2，焦距为|F1F2|＝10.根据题意和双曲线的定义知 2＝|PF1|－|
PF2|＝|PF2|－|PF2|＝|PF2|，所以|PF2|＝6，|PF1|＝8，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以
PF1⊥PF2.所以 S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝×6×8＝24.
(2)由双曲线的标准方程－＝1得a＝2，由双曲线的定义可得|AF2|－|AF1|＝4，|BF2|－|BF1|＝
4，所以|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|＝8.因为|AF1|＋|BF1|＝|AB|，当直线 l过点 F1，且垂直于 x
轴时，|AB|最小，所以(|AF2|＋|BF2|)min＝|AB|min＋8＝＋8＝10.
【变式训练 1】、(1)已知 F是双曲线 C：x2－＝1的右焦点，P是C左支上一点，A(0，6)，
当△APF 周长最小时，该三角形的面积为____．
【答案】12
【解析】　设左焦点为 F1，PF－PF1＝2a＝2，∴PF＝2＋PF1，△APF 的周长为 AF＋AP＋
PF＝AF＋AP＋2＋PF1，△APF 周长最小即为 AP＋PF1最小，当A，P，F1在一条直线时最
小，过AF1的直线方程为＋＝1，与x2－＝1联立，解得 P点坐标为(－2，2)，此时 S＝
S△AF1F－S△F1PF＝12.
(2).已知 是双曲线 上一点， 是左焦点， 是右支上一点， 与
的内切圆切于点 ，则 的最小值为 ( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】 与 的内切圆切于点 ，∴ ,由双曲线定义
=
,当且仅当 A,B, 共线时取等故选：B
重难点题型突破二 双曲线的标准方程
例2、　根据下列条件，求双曲线的标准方程．
3
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