高二数学专题09 双曲线及其方程（课时训练）解析版

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专题 09 双曲线及其方程

【基础巩固】

1、以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为(　　)

A. x2－＝1 B. －y2＝1

C. x2－＝1 D. －＝1

【答案】 A

【解析】设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)．由题意得双曲线的顶点为(±1，0)，焦点为

(±2，0)，所以 a＝1，c＝2，所以 b2＝c2－a2＝3，所以双曲线的标准方程为 x2－＝1.

2、已知双曲线 C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为 y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦

点，则C的方程为( )

A. －＝1 B. －＝1

C. －＝1 D. －＝1

【答案】B

【解析】双曲线 C：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为 y＝±x，在椭圆中：a2＝12，b2＝

3，∴c2＝9，c＝3，故双曲线 C的焦点坐标为(±3，0)，∴双曲线中的方程组：＝，c＝

3，c2＝a2＋b2，解得 a2＝4，b2＝5，则双曲线 C的方程为－＝1.故选 B.

3、设 F1，F2是双曲线 x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且 3＝4，则△PF1F2的面

积等于(　　)

A．4 B．8

C．24 D．48

【答案】C

【解析】双曲线的实轴长为 2，焦距为|F1F2|＝10.根据题意和双曲线的定义知 2＝|PF1|－|

PF2|＝|PF2|－|PF2|＝|PF2|，所以|PF2|＝6，|PF1|＝8，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以

PF1⊥PF2.所以 S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝×6×8＝24.

4、椭圆＋＝1(m＞n＞0)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的公共焦点为 F1，F2，若 P是两曲线的

一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是(　　)

A．m－a B．m2－a2

C. D.－

【答案】B　

【解析】由题意，不妨设 P在双曲线的右支上，F1为左焦点，则|PF1|＋|PF2|＝2m，|PF1|

－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝m＋a，|PF2|＝m－a，所以|PF1|·|PF2|＝m2－a2.

5、已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点为 F，离心率为.若经过 F和P(0,4)两点的直线平

行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为________．

【答案】－＝1

【解析】由离心率为，可知 a＝b，c＝a，所以 F(－a,0)，

由题意知 kPF＝＝＝1，所以 a＝4，解得 a＝2，

所以双曲线的方程为－＝1.

6、设双曲线－＝1的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直线 l交双曲线左支于 A，B两点，

则|BF2|＋|AF2|的最小值为__________．

【解析】由双曲线的标准方程－＝1得a＝2，由双曲线的定义可得|AF2|－|AF1|＝4，|BF2|

－|BF1|＝4，所以|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|＝8.因为|AF1|＋|BF1|＝|AB|，当直线 l过点

F1，且垂直于 x轴时，|AB|最小，所以(|AF2|＋|BF2|)min＝|AB|min＋8＝＋8＝10.

7、(1)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点为 F，离心率为.若经过 F和P(0，4)两点的直线

平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为____．

(2)与双曲线－＝1有共同的渐近线，且经过点(－3，2)的双曲线的标准方程为___．

【答案】（1）－＝1 （2）－＝1

【解析】　(1)由题意得 a＝b，＝1，∴c＝4，∴a＝b＝2，∴所求双曲线的方程为－＝1.

(2)(方法 1)由题意可知所求双曲线的焦点在 x轴上，设双曲线的方程为－＝1，由题意，得

解得 a2＝，b2＝4.∴双曲线的方程为－＝1.

(方法 2)设所求双曲线方程－＝λ(λ≠0)，将点(－3，2)代入得 λ＝，∴双曲线方程为－＝1.

8、过双曲线－＝1(a>0，b>0)的两焦点且与 x轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个

正方形，则该双曲线的离心率为________．

【答案】

【解析】将x＝±c代入双曲线的方程得 y2＝⇒y＝±，则 2c＝，即有 ac＝b2＝c2－a2，由 e

＝，可得 e2－e－1＝0，解得 e＝或 e＝(舍)．

【能力提升】

9、（辽宁葫芦岛高级中学 2019 届模拟）根据下列条件，求双曲线的标准方程．

(1)虚轴长为 12，离心率为；

(2)焦距为 26，且经过点 M(0,12)；

(3)经过两点 P(－3,2)和Q(－6，－7)．

【解析】(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)．由题意知 2b＝12，e＝

＝，所以 b＝6，c＝10，a＝8.所以双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.

(2)因为双曲线经过点 M(0,12)，所以 M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在 y轴上，且 a＝

12.又2c＝26，所以 c＝13，所以 b2＝c2－a2＝25.所以双曲线的标准方程为－＝1.

(3)设双曲线方程为 mx2－ny2＝1(mn＞0)，所以解得所以双曲线的标准方程为－＝1.

10、（辽宁鞍山一中 2019 届模拟）一条斜率为 1的直线 l与离心率为的双曲线－＝1(a＞

0，b＞0)交于 P，Q两点，直线 l与y轴交于点 R，且OP·OQ＝－3，PR＝3RQ，求直线和双

曲线的方程．

【解析】因为 e＝，所以 b2＝2a2，所以双曲线方程可化为 2x2－y2＝2a2.设直线 l的方程为 y

＝x＋m，由得 x2－2mx－m2－2a2＝0，所以 Δ＝4m2＋4(m2＋2a2)>0，所以直线 l一定与双曲

线相交．设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 x1＋x2＝2m，x1x2＝－m2－2a2.因为PR＝3RQ，xR＝＝

0，所以 x1＝－3x2，所以 x2＝－m，－3x＝－m2－2a2，消去 x2，得 m2＝a2.又OP·OQ＝x1x2＋

y1y2＝x1x2＋(x1＋m)·(x2＋m)＝2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝m2－4a2＝－3，所以 m＝±1，a2＝1，b2

＝2.直线 l的方程为 y＝x±1，双曲线的方程为 x2－＝1.

11、（河北衡水中学 2019 届模拟）若双曲线 E：－y2＝1(a＞0)的离心率等于，直线 y＝kx－

1与双曲线 E的右支交于 A，B两点．

(1)求k的取值范围；

(2)若＝6，点 C是双曲线上一点，且OC＝m(OA＋OB)，求 k，m的值．

【解析】(1)由得故双曲线 E的方程为 x2－y2＝1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(1－k2)x2＋2kx

－2＝0.①

因为直线与双曲线右支交于 A，B两点，所以

即即

所以 1＜k＜，即 k的取值范围是(1，)．

(2)由①得 x1＋x2＝，x1x2＝，所以|AB|＝·＝2＝6，整理得 28k4－55k2＋25＝0，所以 k2＝或

k2＝，又 1＜k＜，所以 k＝，所以 x1＋x2＝4，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2＝8.设C(x3，y3)，由OC＝

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