高二数学专题08 椭圆及其方程（重难点突破）解析版

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专题 08 椭圆及其方程

一、知识结构思维导图

二、学法指导与考点梳理

知识点一椭圆的定义

平面内与两个定点 F1，F2的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫

做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．

集合 P＝{M|＋＝2a}，＝2c，其中 a>0，c>0，且 a，c为常数．

(1)若a＞c，则集合 P为椭圆；

(2)若a＝c，则集合 P为线段；

(3)若a＜c，则集合 P为空集．

知识点二椭圆的标准方程和几何性质

标准方程＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0)

图形

性质

范围

－a≤x≤a，

－b≤y≤b

－b≤x≤b，

－a≤y≤a

对称性对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)

顶点

A1(－a,0)，A2(a,0)，

B1(0，－b)，B2(0，b)

A1(0，－

a)，A2(0，a)，

B1(－b,0)，B2(b,0)

轴长轴 A1A2的长为 2a，短轴 B1B2的长为 2b

焦距＝2c

离心率 e＝，　　e(0,1)∈

a，b，c

的关系

c2＝a2－b2

【知识必备】

1．焦半径：椭圆上的点 P(x0，y0)与左(下)焦点 F1与右(上)焦点 F2之间的线段的长度叫做椭

圆的焦半径，分别记作 r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.

(1)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；

(2)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；

(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．

2．焦点三角形：椭圆上的点 P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝

θ，△PF1F2的面积为 S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中

(1)当P为短轴端点时，θ最大．

(2)S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点 P为短轴端点时，S取最大值，

最大值为 bc.

(3)焦点三角形的周长为 2(a＋c)．

3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长 lmin＝.

4．AB 为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点 M(x0，y0)，则

(1)弦长 l＝|x1－x2|＝ |y1－y2|；

(2)直线 AB 的斜率 kAB＝－.

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