高二数学专题08 椭圆及其方程（课时训练）解析版

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专题 08 椭圆及其方程

【基础巩固】

1.（山东潍坊一中 2019 届质检）曲线＋＝1与曲线＋＝1(k＜9)的(　　)

A．长轴长相等 B．短轴长相等

C．离心率相等 D．焦距相等

【答案】D　

【解析】曲线＋＝1表示焦点在 x轴上的椭圆，c2＝25－9＝16，焦距为 8.曲线＋＝1(k＜9)

表示焦点在 x轴上的椭圆，c2＝(25－k)－(9－k)＝16，焦距为 8.故选 D.

2.（江西金溪一中 2019 届模拟）若直线 x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则

该椭圆的标准方程为(　　)

A.＋y2＝1 B.＋y2＝1 C.＋y2＝1或＋＝1 D．以上答案都不正确

【答案】C　

【解析】直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)，由题意知当焦点在 x轴上时，c＝2，b＝1，

所以 a2＝5，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1；当焦点在 y轴上时，b＝2，c＝1，所以 a2＝

5，所求椭圆的标准方程为＋＝1.

3.一个椭圆的中心在原点，焦点 F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|

PF2|成等差数列，则椭圆的方程为(　　)

A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1

【答案】A

【解析】设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由点 P(2，)在椭圆上知＋＝1.又|PF1|，|

F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即 2a＝2·2c，＝，又 c2＝a2－b2，联立

得a2＝8，b2＝6.所以椭圆方程为＋＝1.

3.（福建泉州五中 2019 届模拟）已知椭圆 C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，

离心率为，过 F2的直线 l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为 4，则 C的方程为(　　)

A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D.＋＝1

【答案】A　

【解析】由题意及椭圆的定义知 4a＝4，则 a＝，又＝＝，所以 c＝1，所以 b2＝2，所以 C

的方程为＋＝1.故选 A.

4.已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则（）

A．a2=2b2B．3a2=4b2

C．a=2bD．3a=4b

【答案】B

【解析】椭圆的离心率，化简得，故选 B.

5.已知 F1，F2是椭圆 C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点 P在过 A且斜率

为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则 C的离心率为（）

A. B. C. D.

【答案】D　

【解析】由题意，得 A(－a,0)，PF2＝F1F2＝2c.示意图如图，过点 P作PE⊥x轴于点 E.由

∠PF2F1＝120°，得∠PF2E＝60°，所以 F2E＝c，PE＝c，所以 P(2c，c)．因为 kPA＝，所以 PA

所在直线方程可设为 y＝(x＋a)．所以 c＝(2c＋a)，可得＝，即椭圆 C的离心率为.故选 D.

6.已知 F1，F2是椭圆 C的两个焦点，P是C上的一点．若 PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则 C的

离心率为（）

A．1－ B．2－ C. D.－1

【答案】D　

【解析】在 Rt△PF1F2中，∠PF2F1＝60°，不妨设椭圆焦点在 x轴上，且焦距|F1F2|＝2c，则|

PF2|＝c，|PF1|＝c，由椭圆的定义可知，2a＝(1＋)c，

所以离心率 e＝＝＝－1.故选 D.

7.设A，B是椭圆 C：＋＝1长轴的两个端点．若 C上存在点 M满足∠AMB＝120°，则 m的

取值范围是（）

A．(0,1] [9∪，＋∞) B．(0，] [9∪，＋∞)

C．(0,1] [4∪，＋∞) D．(0，] [4∪，＋∞)

【答案】A

【解析】当 0＜m＜3时，焦点在 x轴上，要使 C上存在点 M满足∠AMB＝120°，则≥tan

60°＝，即≥，解得 0＜m≤1；当 m＞3时，焦点在 y轴上，要使 C上存在点 M满足∠AMB

＝120°，则≥tan 60°＝，即≥，解得 m≥9.故m的取值范围为(0,1] [9∪，＋∞)．故选 A.

8.已知 F1，F2为两定点，|F1F2|＝6，动点 M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点 M的轨迹是（

）

A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段

【答案】D

【解析】虽然动点 M到两个定点 F1，F2 的距离为常数 6，但由于这个常数等于|F1F2|，故

动点 M的轨迹是线段 F1F2，故选 D．

9.若方程表示椭圆，则实数 k的取值范围为________________．

【答案】(6，7) (7∪，8)．

【解析】由，可得且，所以实数 k的取值范围为

(6，7) (7∪，8)．

10.（1）设 F1，F2是椭圆 E：的左、右焦点，P为直线上一

点，是底角为的等腰三角形，则椭圆 E的离心率为________________；

（2）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，A1，A2，B1，B2 为椭圆

的四个顶点，F为其右焦点，直线 A1B2 与直线 B1F 相交于点 T，线段 OT 与椭圆的交点 M

恰为线段 OT 的中点，则该椭圆的离心率为________________．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）如图 2，设直线交 x轴于 D点，因为是底角为的等腰三

角形，则有，因为，所以，，

所以，即，即，即，所以椭

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