高二数学专题07 曲线与方程（重难点突破）解析版

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专题 07 曲线与方程

一、知识结构思维导图

二、学法指导与考点梳理

知识点一曲线与方程

一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C上的点与一个二元方程 f(x，y)＝0的实数解建

立了如下关系：

(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．

那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．

曲线可以看作是符合某条件的点的集合，也可看作是适合某种条件的点的轨迹，因此，

此类问题也叫轨迹问题．

知识点二求轨迹方程的方法

求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法

(1)直接法直接法是将圆锥曲线中动点满足的几何关系或者等量关系，直接坐标化，列

出等式化简即得动点轨迹方程，当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设

点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法.

(2)定义法若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆

等)，可用定义直接探求；

(3)相关点法根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程；

(4)参数法若动点的坐标(x,y)中的 x,y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变

量为参数，建立轨迹的参数方程；

知识点三求曲线方程的基本步骤

三、重难点题型突破

重难点题型突破 01 直接法

直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨

迹方程，当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐

标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法.

例1、（黑龙江哈尔滨师大附中 2019 届模拟）已知定点 A，B，且|AB|＝2a.如果动点 P到

点A的距离与到点 B的距离之比为 2∶1，求点 P的轨迹．

【解析】取 AB 所在的直线为 x轴，从 A到B为正方向，以 AB 的中点 O为原点，以 AB 的中

垂线为 y轴，建立直角坐标系，则 A(－a,0)，B(a,0)．设 P(x，y)，因为＝，即＝2，化简整

理可得 3x2＋3y2－10ax＋3a2＝0，即 2＋y2＝a2.故动点 P的轨迹是以 C为圆心，a为半径的圆．

【变式训练 1】已知直角坐标平面上点 Q（2，0）和圆 C：

 yx

，动点 M到圆 C的

切线长与

的比等于常数

 

0



（如图），求动点 M的轨迹方程，说明它表示什么

曲线．

【解析】：设 M（x，y），直线 MN 切圆 C于N，则有





，即







ONMO

，









)2(

．整理得

0)41(4)1()1(

222222





xyx

，这就是动点 M的轨迹方程．

若

1



，方程化为

x

，它表示过点

)0,

(

和x轴垂直的一条直线；

若λ≠1 ，方程化为

)1(











yx ）－（

，它表示以

)0,

(





为圆心，







为半径的圆．

重难点题型突破 02 相关点代入法

据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程

例2、（浙江杭州十四中 2019 届模拟）设点 F(1,0)，点 M在x轴上，点 P在y轴上，且MN

＝2PM，PM⊥PF，当点 P在y轴上运动时，求点 N的轨迹方程．

【解析】设 M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y).PM＝(x0，－y0)，PF＝(1，－y0)，因为PM⊥PF，所以

(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，所以 x0＋y＝0.由MN＝2PM得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，所以即所以

－x＋＝0，

即y2＝4x.故所求的点 N的轨迹方程是 y2＝4x.

【变式训练 1】如图所示，已知 P(4，0)是圆 x2+y2=36 内的一点，A、B是圆上两动点，且

满足∠APB=90°，求矩形 APBQ 的顶点 Q的轨迹方程

【解析】设 AB 的中点为 R，坐标为(x,y)，则在 Rt△ABP 中，|AR|=|PR|

又因为 R是弦 AB 的中点，依垂径定理在 Rt△OAR 中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)

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