高二数学专题07 曲线与方程（课时训练）解析版

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专题 07 曲线与方程课时训练

【基础巩固】

1．（湖南省邵阳一中 2019 届期中）已知点 P是直线 2x－y＋3＝0上的一个动点，定点

M(－1,2)，点 Q是线段 PM 延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则点 Q的轨迹方程是(　　)

A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0

C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0

【答案】D　

【解析】设 Q(x，y)，则 P为(－2－x,4－y)，代入 2x－y＋3＝0，得点 Q的轨迹方程为 2x－y

＋5＝0.

2. （黑龙江省绥化一中 2019 届模拟）如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，

A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，映射 f将xOy 平面上的点 P(x，y)对应到另一个平面直角坐标系 uO′v

上的点 P′(2xy，x2－y2)，则当点 P沿着折线 ABC 运动时，在映射 f的作用下，动点 P′的轨迹

是(　　)

【答案】D　

【解析】当 P沿AB 运动时，x＝1，设 P′(x′，y′)，则(0≤y≤1)，故 y′＝1－(0≤x′≤2,0≤y′≤1)．当

P沿BC 运动时，y＝1，则(0≤x≤1)，所以 y′＝－1(0≤x′≤2，－1≤y′≤0)，由此可知 P′的轨迹如 D

所示，故选 D.

3．（浙江省嘉兴一中 2019 届模拟）设点 A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA 是圆的切线，

且|PA|＝1，则 P点的轨迹方程为(　　)

A．y2＝2xB.(x－1)2＋y2＝4

C．y2＝－2xD．(x－1)2＋y2＝2

【答案】D　

【解析】如图，设 P(x，y)，

圆心为 M(1,0)．连接 MA，PM，

则MA⊥PA，且|MA|＝1，

又因为|PA|＝1，

所以|PM|＝＝，即|PM|2＝2，所以(x－1)2＋y2＝2.

4．（湖北省鄂州一中 2019 届模拟）设过点 P(x，y)的直线分别与 x轴的正半轴和 y轴的正

半轴交于 A，B两点，点 Q与点 P关于 y轴对称，O为坐标原点．若BP＝2PA，且OQ·AB＝

1，则点 P的轨迹方程是(　　)

A.x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)

B.x2－3y2＝1(x＞0，y＞0)

C．3x2－y2＝1(x＞0，y＞0)

D．3x2＋y2＝1(x＞0，y＞0)

【答案】A　

【解析】设 A(a,0)，B(0，b)，a＞0，b＞0.由BP＝2PA，得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，即 a＝x

＞0，b＝3y＞0.点Q(－x，y)，故由OQ·AB＝1，得(－x，y)·(－a，b)＝1，即 ax＋by＝1.将a

＝x，b＝3y代入 ax＋by＝1，得所求的轨迹方程为 x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)．

5.（江苏启东中学 2019 届模拟）已知点 A(－4,4)，B(4,4)，直线 AM 与BM 相交于点 M，且

直线 AM 的斜率与 BM 的斜率之差为－2，点 M的轨迹为曲线 C，则曲线 C的轨迹方程为___

_______．

【答案】x2＝4y(x≠±4)

【解析】设 M(x，y)，由已知得 kAM－kBM＝－＝－2，可得 x2＝4y(x≠±4)．

6．（江苏省常州一中 2019 届期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，

A(1,0)，B(2,2)，若点 C满足OC＝OA＋t(OB

－

OA)，其中 tR∈，则点 C的轨迹方程是________．

【答案】2x－y－2＝0

【解析】设 C(x，y)，则OC＝(x，y)，OA＋t(OB－OA)＝(1＋t,2t)，所以消去参数 t，得点 C

的轨迹方程为 y＝2x－2.

【能力提升】

7.设O为坐标原点，动点 M在椭圆 C：上，过 M作x轴的垂线，垂足为 N，点

P满足。

(1) 求点 P的轨迹方程；

(2)设点 Q在直线上，且。证明：过点 P且垂直于 OQ 的直线 l过C的左

焦点 F。

因此点 P的轨迹方程为。

（2）由题意知。设 ,则

，

。

由得，又由（1）知，故

。

所以，即。又过点 P存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P且垂直于

OQ 的直线过 C的左焦点 F。

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