高二数学专题02 空间向量在立体几何中的应用（重难点突破）（原卷版）

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专题 02 空间向量在立体几何中的应用

一、知识结构思维导图

二、学法指导与考点梳理

1．空间中的点与空间向量

一般地，如果在空间中指定一点 O，那么空间中任意一点 P的位置，都可以由向量OP唯一确定，此时，

OP通常称为点 P的位置向量．

【名师提醒】：空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确定．

2．空间中的直线与空间向量

一般地，如果 l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示 v的有向线段所在的直线与 l

平行或重合，则称 v为直线 l的一个方向向量．此时，也称向量 v与直线 l平行，记作 v ∥ l ．

(1)如果 A、B是直线 l上两个不同的点，则 v＝AB，即为直线 l的一个方向向量．

思考 1：直线 l的方向向量唯一吗？直线 l的方向向量之间有怎样的关系？

【名师提醒】：直线 l的方向向量不唯一，若 v为直线的方向向量，则 λv(λ≠0)也为直线 l的方向向量，直线

l的任意两个方向向量都平行．

思考 2：空间中的直线 l的位置由 v能确定吗？

【名师提醒】：空间中直线 l的位置可由 v和直线上的一个点唯一确定．

(2)如果 v1是直线 l1的一个方向向量，v2是直线 l2的一个方向向量，则 v1∥v2⇔l1∥ l

或

与

重合．

3．空间中两条直线所成的角

(1)设v1、v2分别是空间中直线 l1，l2的方向向量，且 l1与l2所成角的大小为 θ，则 θ＝〈 v 1， v 2〉或 θ＝π －

〈 v 1， v 2〉，所以 sin θ＝sin 〈 v 1， v 2〉，cos θ＝|cos 〈 v 1， v 2〉 | ．

(2)〈v1，v2〉＝⇔l1⊥ l

2⇔v1·v2＝0．

4．异面直线与空间向量

设v1，v2分别是空间中直线 l1与l2的方向向量．

(1)若l1与l2异面，则 v1与v2的关系为 v1与v2不平行．

(2)若v1与v2不平行，则 l1与l2的位置关系为相交或异面．

【名师提醒】：“v1与v2不平行”是“l1与l2异面”的必要不充分条件．

(3)若A∈l1，B∈l2，则 l1与l2异面时，v1，v2，AB不共面．若 v1，v2，AB不共面，则 l1与l2异面．

【名师提醒】：“v1，v2，AB不共面”是“l1与l2异面”的充要条件．

(4)公垂线段：一般地，如果 l1与l2是空间中两条异面直线，M∈l1，N∈l2，MN ⊥ l 1， MN ⊥ l

2．则称 MN

为l1与l2的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的距离．

5．平面的法向量

(1)如果 α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示 n的有向线段所在的直线与平面 α

垂直，则称 n为平面 α的一个法向量，此时也称 n与平面 α垂直，记作 n⊥α．

思考 1：平面 α的法向量有多少个？它们之间什么关系？

【名师提醒】：　无数个　平行

思考 2：一个平面的法向量与此平面共面的所有向量间有什么关系？

【名师提醒】：垂直

(2)平面的法向量的性质

① 如果直线 l垂直于平面 α，则直线 l的任意一个方向向量都是平面 α的一个法向量．

② 如果 n是平面 α的一个法向量，则对任意的实数 λ≠0，空间向量 λn也是平面 α的一个法向量，且平

面α的任意两个法向量都平行．

③ 如果 n为平面 α的一个法向量，A为平面 α上一个已知的点，则对于平面 α上任意一点 B，向量AB

一定与向量 n垂直，即 n·AB＝0，从而可知平面 α的位置可由 n和A唯一确定．

(3)如果 v是直线 l的一个方向向量，n是平面 α的一个法向量，则 n∥v⇔l ⊥ α ，n⊥v⇔l ∥ α ，或

l ⊂ α ．

(4)如果 n1是平面 α1的一个法向量，n2是平面 α2的一个法向量，则 n1⊥n2⇔α1⊥ α 2，n1∥n2⇔α1∥α2或α1

与α2重合．

6．三垂线定理及其逆定理

(1)三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂

直．

(2)三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平

面内的射影垂直．

提醒：定理中的已知直线必须是已知平面内的直线．

7．直线和平面所成的角

8．最小角定理

9．用空间向量求直线与平面的夹角

如果 v是直线 l的一个方向向量，n是平面 α的法向量，设直线 l与平面 α所成角的大小为 θ，则 θ＝－

〈 v ， n 〉或 θ＝〈 v ， n 〉－，特别地 cos θ＝sin 〈 v ， n 〉或sin θ＝|cos 〈 v ， n 〉 | ．

思考：直线 l的方向向量 s与平面的法向量 n的夹角一定是直线和平面的夹角吗？

[提示]　不是．直线和平面的夹角为．

10．二面角的概念

(1)半平面：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面．

(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个

半平面叫做二面角的面．棱为 l，两个面分别为 α，β的二面角的面，记作 α l β ，若 A∈α，B∈β，则二面角

也可以记作 A l B ，二面角的范围为[0 ， π] ．

(3)二面角的平面角：在二面角 αlβ 的棱上任取一点

O ，以 O为垂足，分别在两半平面内分别作射线

OA⊥l，OB⊥l，则∠ AOB

叫做二面角 αlβ 的平面角．

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