高二数学专题01 空间向量及其运算（重难点突破）（解析版）

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专题 01 空间向量及其运算重难点突破

一、知识结构思维导图

二、学法指导与考点梳理

1．空间向量

(1)定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量．

(2)模(或长度)：向量的大小．

(3)表示方法：

① 几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为 A终点为 B的向量，记为AB，模为|

AB|．

② 字母表示法：可以用字母 a，b，c，…表示，模为|a|，|b|，|c|，…．

【几类特殊的向量】

(1)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作 0．

(2)单位向量：模等于 1

的向量称为单位向量．

(3)相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量．

(4)相反向量：方向相反，大小相等的向量称为相反向量．

(5)平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的

直线平行或重合．通常规定零向量与任意向量平行．

(6)共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，

则称这些向量共面．

思考：空间中任意两个向量共面吗？空间中任意三个向量呢？

【名师提醒】　空间中任意两个向量都是共面的，但空间中任意三个向量不一定共面．

2．空间向量的线性运算

类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算．

图1　　　　　　　　图 2

(1)如图 1，OB＝OA＋AB＝a＋b，CA＝OA－OC＝a－b．

(2)如图 2，DA＋DC＋DD1＝DB1．

即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线

所表示的向量．

(3)给定一个实数 λ与任意一个空间向量 a，则实数 λ与空间向量 a相乘的运算称为数乘向量，记作 λa．

其中：

①当λ≠0 且a≠0时，λa的模为| λ || a | ，而且 λa的方向：

(ⅰ)当λ＞0时，与 a的方向相同；(ⅱ)当λ＜0时，与 a的方向相反．

②当λ＝0或a＝0时，λa＝0．

(4)空间向量的线性运算满足如下运算律：

对于实数 λ与μ，向量 a与b，有① λa＋μa＝(λ＋μ)a；② λ(a＋b)＝λa＋λb．

3．空间向量的数量积

(1)空间向量的夹角

如果〈a，b〉＝，那么向量 a，b互相垂直，记作 a

⊥

b．

(2)空间向量数量积的定义：

已知两个非零向量 a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做 a，b的数量积(或内积)，记作 a·b．

(3)数量积的几何意义

① 向量的投影

如图所示，过向量 a的始点和终点分别向 b所在的直线作垂线，即可得到向量 a在向量 b上的投影 a′.

② 数量积的几何意义： a与b的数量积等于 a在b上的投影 a′的数量与 b的长度的乘积，特别地，a与

单位向量 e的数量积等于 a在e上的投影 a′的数量．规定零向量与任意向量的数量积为 0.

(4)空间向量数量积的性质：

①a⊥b⇔a·b＝0；

②a·a＝|a|2＝a2；

③|a·b|≤|a||b|；

④(λa)·b＝λ(a·b)；

⑤a·b＝b·a(交换律)；

5．共面向量定理

如果两个向量 a，b不共线，则向量 a，b，c共面的充要条件是存在唯一的实数对(x，y)，使 c

＝ x

＋ y

．

思考 1：平面向量基本定理中对于向量 a与b有什么条件，在空间中能成立吗？

【名师提醒】平面向量基本定理中要求向量 a与b不共线，在空间中仍然成立．

6．空间向量基本定理

如果空间中的三个向量 a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量 p，存在唯一的有序实数组

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