高二数学新教材知识讲学专题四 用空间向量研究直线、平面的位置关系 知识精讲 （解析版）

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专题四 用空间向量研究直线、平面的位置关系
一 知识结构图
内 容 考点 关注点
用空间向量研究直线、
平面的位置关系
直线的方向向量，平面的法向量 求方向向量、法向量
用方向向量，法向量证明线线、
线面、面面间的平行关系
证明平行关系
用平面法向量证明线面和面面垂
直
证明垂直关系
二.学法指导
1．证明两直线平行的方法
法一：平行直线的传递性
法二：基向量法，分别取两条直线的方向向量
m
，
n
，证明
m
∥
n
，即
m
＝λ
n
.
法三：坐标法，建立空间直角坐标系，把直线的方向向量用坐标表示，如
m
1＝(
x
1，
y
1，
z
1)，
m
2
＝(
x
2，
y
2，
z
2)，即证明
m
1＝λ
m
2，即
x
1＝λ
x
2且
y
1＝λ
y
2且
z
1＝λ
z
2.
2．向量法证明线面平行的三个思路
(1)设直线
l
的方向向量是
a
，平面
α
的法向量是
u
，则要证明
l
∥
α
，只需证明
a
⊥
u
，即
a
·
u
＝0.
(2)根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平
面平行，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量
即可．
(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与
这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直
线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．
3．证明面面平行的方法
设平面
α
的法向量为
μ
，平面
β
的法向量为
v
，则
α
∥
β
⇔
μ
∥
v
.
4.坐标法证明线面垂直的两种方法
1
法一：(1)建立空间直角坐标系；
(2)将直线的方向向量用坐标表示；
(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；
(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为 0.
法二：(1)建立空间直角坐标系；
(2)将直线的方向向量用坐标表示；
(3)求出平面的法向量；
(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行．
5.利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直
问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，
得面面垂直．
6．向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示
后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度．
三.知识点贯通
知识点 1 求平面的法向量
平面的法向量的定义
直线 l⊥α，取直线 l的方向向量
a，则向量 a叫做平面 α的法向量．
例题 1.四边形 ABCD 是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面 ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1.在如
图所示的坐标系 Axyz 中，分别求平面 SCD 和平面 SAB 的一个法向量．
【解析】　A(0,0,0)，D(1,0,0)，C(2,2,0)，S(0,0,2)．∵AD⊥平面 SAB，∴AD＝(1,0,0)是平面 SAB 的一
个法向量．设平面 SCD 的法向量为 n＝(1，y，z)，则 n·DC＝(1，y，z)·(1,2,0)＝1＋2y＝0，∴y＝－.
又n·DS＝(1，y，z)·(－1,0,2)＝－1＋2z＝0，∴z＝.∴n＝即为平面 SCD 的一个法向量．
知识点二 利用空间向量证明线线平行
空间中平行关系的向量表示
2
线线
平行
设两条不重合的直线 l1，l2的方向向量分别为 u1＝(a1，b1，c1)，u2＝
(a2，b2，c2)，则 l1∥l2⇔u1∥ u 2⇔( a 1， b 1， c 1) ＝ λ( a 2， b 2， c 2)
线面
平行
设l的方向向量为 u＝(a1，b1，c1)，α的法向量为 n＝(a2，b2，c2)，则 l∥α⇔u·n ＝
0⇔a1a2＋ b 1b2＋ c 1c2＝ 0
面面
平行
设α，β的法向量分别为 n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)，则
α∥β⇔n1∥ n 2⇔( a 1， b 1， c 1) ＝ λ( a 2， b 2， c 2)
例 题 2：在 长 方 体 ABCDA1B1C1D1中 ， AB ＝4，AD ＝3，AA1＝2，P，Q，R，S分 别 是
AA1，D1C1，AB，CC1的中点．
求证：PQ∥RS.
【证明】法一：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空
间直角坐标系 Dxyz.
则P(3,0,1)，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S(0,4,1)，PQ＝(－3,2,1)，RS＝(－3,2,1)，
∴PQ＝RS，∴PQ∥RS，即 PQ∥RS.
法二：RS＝RC＋CS＝DC－DA＋DD1，
PQ＝PA1＋A1Q＝DD1＋DC－DA，
∴RS＝PQ，∴RS∥PQ，即 RS∥PQ.
知识点三 利用空间向量证线面、面面平行
空间中平行关系的向量表示
线线
平行
设两条不重合的直线 l1，l2的方向向量分别为 u1＝(a1，b1，c1)，u2＝
(a2，b2，c2)，则 l1∥l2⇔u1∥ u 2⇔( a 1， b 1， c 1) ＝ λ( a 2， b 2， c 2)
线面
平行
设l的方向向量为 u＝(a1，b1，c1)，α的法向量为 n＝(a2，b2，c2)，则 l∥α⇔u·n ＝
0⇔a1a2＋ b 1b2＋ c 1c2＝ 0
面面 设 α，β的法向量分别为 n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)，则
3
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