高二数学新教材知识讲学专题四 用空间向量研究直线、平面的位置关系 核心素养练习 （解析版）

3.0 envi 2025-04-11 4 4 572.25KB 16 页 3知币
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专题四 用空间向量研究直线、平面的位置关系
一、核心素养聚焦
考点一 数学运算-求平面的法向量
例题 9.．已知三点 A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面 ABC 的一个法向量．
【解析】设平面 ABC 的一个法向量为 n＝(x，y，z)，
由题意得AB＝(－1,1,0)，BC＝(1,0，－1)．
因为 n⊥AB，n⊥BC，
所以
令x＝1，得 y＝z＝1，所以平面 ABC 的一个法向量 n＝(1,1,1).
考点二 逻辑推理-证明线线平行
例题 10 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为 DD1和BB1的中点．求证：四边形
AEC1F是平行四边形．
【证明】以点 D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正
方体的棱长为 1，则 A(1,0,0)，E，C1(0,1,1)，F，
∴AE＝，
FC1＝，EC1＝，AF＝，
∴AE＝FC1，EC1＝AF，
1
∴AE∥FC1，EC1∥AF，
又∵F∉AE，F∉EC1，∴AE∥FC1，EC1∥AF，
∴四边形 AEC1F是平行四边形.
二、学业质量测评
一、选择题
1．已知两不重合直线 和 的方向向量分别为 ， ，则 与 的位置关
系是（ ）
A．平行 B．相交 C．垂直 D．不确定
【答案】A
【详解】
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
故选：A
2．若平面 ，且平面 的一个法向量为 ，则平面 的法向量可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
2
∵平面 ，∴平面 的一个法向量与平面 的法向量垂直，即它们的数量积为 0.
对于 A： ，故 A错误；
对于 B： ，故 B错误；
对于 C： ，故 C正确；
对于 D： ，故 D错误.
故选：C.
3．若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则能使 的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【详解】
对于选项 A： ，故选项 A不正确；
对于选项 B： ，故选项 B不正确；
对于选项 C： ，所以 ，所以 ，故选项 C 正确；
3
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