高二数学新教材知识讲学专题六 第一章 复习与检测 知识精讲 （原卷版）

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专题六 第一章 复习与检测
一 知识结构图
二.学法指导
1．空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它
们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时可结合已知和所求，根据
图形，利用向量运算法则表示所需向量．
2．空间向量的数量积
(1)空间向量的数量积的定义表达式 a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉及其变式 cos〈a，b〉＝是两个重
要公式．
(2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如 a2＝|a|2，a在b上的投
影＝|a|·cos θ等．
3．利用空间向量证明空间中的位置关系
线线平行 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量.
线线垂直 证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直.
线面平行
① 证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；
② 证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；
③ 利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性
表示.
线面垂直 ① 证明直线的方向向量与平面的法向量平行；
1
② 利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题.
面面平行
① 证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；
② 转化为线面平行、线线平行问题.
面面垂直
① 证明两个平面的法向量互相垂直；
② 转化为线面垂直、线线垂直问题.
4.用向量法求空间角的注意点
(1)异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为 0°<θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，
借助方向向量所成角求解．
(2)直线与平面所成的角：要求直线 a与平面 α所成的角 θ，先求这个平面 α的法向量 n与直线
a的方向向量 a夹角的余弦 cos〈n，a〉，易知 θ＝〈n，a〉－或者－〈n，a〉．
(3)平面与平面的夹角：如图，有两个平面 α与β，分别作这两个平面的法向量 n1与n2，则平面
α与β所成的角跟法向量 n1与n2所成的角相等或互补．
5.向量求和的注意点
(1)三角形法则对于两个向量共线时也适用．
(2)两个向量的和向量仍是一个向量．
(3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用．
三.知识点贯通
知识点 1 空间向量的线性运算和数量积
例题 1.已知正四面体 OABC 的棱长为 1，如图．求：
2
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