高二数学新教材知识讲学专题21 第三章 复习与检测（知识精讲）（解析版）

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专题二十一 第三章 复习与检测
一 知识结构图
内 容 考点 关注点
圆锥曲线的方程
椭圆的定义及方程 椭圆方程
椭圆的几何性质 性质运用
双曲线的定义及方程 双曲线方程
双曲线的几何性质 性质运用
抛物线的定义及方程 抛物线方程
抛物线的几何性质 性质运用
二.学法指导
1．“回归定义”解题的三点应用
应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写
出所求的轨迹方程；
应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的
知识来解决；
应用三：在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结
合几何图形，利用几何意义去解决．
2．求圆锥曲线方程的一般步骤
一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤．
(1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．
(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪
个坐标轴上时，可设方程为 mx2
＋
ny2＝1(m>0，n>0)．
(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小．
3．求解离心率的三种方法
(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在
x
轴上还是
y
轴上
都有关系式
a
2－
b
2＝
c
2(
a
2＋
b
2＝
c
2)以及
e
＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是
基本且常用的方法．
(2)方程法：建立参数
a
与
c
之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重
要的思路及方法．
(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆 (双曲线)的
定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直
观．
4.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
(1)证明代数式为定值．依题设条件得出与代数式参数有关的等式，代入所求代数式，化简得
出定值．
(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的表达式，再利用题设条件
1
化简、变形．
(3)求某线段长度为定值．利用两点间距离公式求得表达式，再根据条件对其进行化简、变形
即可．
5．圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为
y
＝
kx
＋
b
，然后利用条件建立
b
、
k
等量关系进行消
元，借助于直线系的思想找出定点．
(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．
三.知识点贯通
知识点 1 圆锥曲线的定义及应用
例题 1.双曲线 16x2－9y2＝144 的左、右两焦点分别为 F1，F2，点 P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝64，
则∠F1PF2＝________.
【答案】60°
【解析】双曲线方程 16x2－9y2＝144，化简为－＝1，
即a2＝9，b2＝16，所以 c2＝25，解得 a＝3，c＝5，所以 F1(－5,0)，F2(5,0)．
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
由双曲线的定义知|m－n|＝2a＝6，又已知 m·n＝64，
在△PF1F2中，由余弦定理知
cos∠F1PF2＝＝＝
＝＝.所以∠F1PF2＝60°.
知识点二 圆锥曲线的方程
例题 2：已知直线 y＝－x＋2和椭圆＋＝1(a＞b＞0)交于 A，B两点，且 a＝2b.若|AB|＝2，求椭圆的
方程．
【解析】由消去 y并整理得 x2－4x＋8－2b2＝0.由Δ＝16－4(8－2b2)＞0，得 b2＞2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则由根与系数的关系得 x1＋x2＝4，x1x2＝8－2b2.
∵|AB|＝2，∴·＝2，
即·＝2，解得 b2＝4，故 a2＝4b2＝16.
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
知识点三 圆锥曲线性质及应用
例题 3 .已知 F1，F2是椭圆 C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点 P在过 A且斜率
为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则 C的离心率为(　　 )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意易知直线 AP 的方程为 y＝(x＋a)，①
直线 PF2的方程为 y＝(x－c)．②
2
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