高二数学新教材知识讲学专题21 第三章 复习与检测（核心素养练习）（解析版）

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专题二十一 第三章 复习与检测
一、核心素养聚焦
考点一 直观想象-求点的轨迹方程
例题 6.已知动点 M的坐标满足方程 5＝|3x＋4y－12|，则动点 M的轨迹是(　　)
A．椭圆　　　　 B．双曲线
C．抛物线 D．以上都不对
【答案】C
【解析】把轨迹方程 5＝|3x＋4y－12|
写成＝.
∴动点 M到原点的距离与它到直线 3x＋4y－12＝0的距离相等．∴点 M的轨迹是以原点为焦点，
直线 3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．
考点二 数学运算-圆锥曲线方程
例题 7以直线 x±y＝0为渐近线，一个焦点坐标为 F(0,2)的双曲线方程是(　　)
A．y2－＝1 B．x2－＝1
C．－y2＝1 D．－x2＝1
【答案】D
【解析】设双曲线方程为 3x2－y2＝λ(λ≠0)，
因为焦点在 y轴上，所以方程可化为－＝1，
由条件可知－λ－＝4，解得 λ＝－3.所以双曲线方程为 3x2－y2＝－3，即－x2＝1.
考点三 逻辑推理-直线与圆锥曲线的位置关系
例题 8、已知椭圆 E的中心在坐标原点，两个焦点分别为 F1(－1,0)，F2(1,0)，短半轴长为 2.
(1)求椭圆 E的标准方程；
(2)过焦点 F2的直线 l交椭圆 E于A，B两点，满足F1A⊥F1B，求直线 l的方程．
【解析】　(1)由题意，椭圆 E的两个焦点分别为 F1(－1,0)，F2(1,0)，短半轴长为 2，
可得 c＝1，b＝2，则 a＝＝，所以椭圆 E的标准方程＋＝1；
(2)由题意知直线 l与x轴不重合，设直线 l：x＝ny＋1，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程组
，整理得(4n2＋5)y2＋8ny－16＝0，
1
可得 y1＋y2＝－，y1y2＝－，
又由F1A⊥F1B，则F1A·F1B＝0，得(x1＋1，y1)·(x2＋1，y2)＝0，
代入直线可得(ny1＋2，y1)·(ny2＋2，y2)＝0，即
(n2＋1)y1y2＋2n(y1＋y2)＋4＝0，
代入可得(n2＋1)＋2n×＋4＝0，解得 n2＝，
所以直线 l的方程为 x＝±y＋1，
即直线 l的方程为：2x＋y－2＝0或2x－y－2＝0.
二、学业质量测评
一、选择题
1．抛物线 y2=4x 的焦点坐标是
A．（0,2）B．（0,1）C．（2,0）D．（1,0）
【答案】D
【解析】 的焦点坐标为 ，故选 D.
2．已知双曲线的一个焦点与抛物线 的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为 ，则该双
曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】抛物线 的焦点： ,可得 ,双曲线的渐近线的倾斜角为 ,双曲线的焦
点坐标在 y轴上.
可得 ,即 , ,解得 , .
所求双曲线方程为： .
故选：C.
2
3．若双曲线 的离心率为 2，则实数 的值为（ ）
A．1B．C．2D．3
【答案】A
【解析】因为
所以 ，
由题意，得 ，解得 （ （舍去）．
故选：A
4．双曲线 的一条渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【解析】双曲线 的一条渐近线方程为 ，
可得 ，即 ，
解得 ，即 ．
故选：C
5．已知双曲线 的焦距为 ，且双曲线的一条渐近线与直线 平
行，则双曲线的方程为（ ）
3
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