高二数学新教材知识讲学专题20 抛物线的简单几何性质（知识精讲）（解析版）

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专题二十抛物线的简单几何性质

一知识结构图

内容考点关注点

抛物线的简单几何性质

抛物线的简单几何性质性质运用

直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系的

判断及相关问题

二.学法指导

1．抛物线的性质可以总结为五个“1”，即：一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，离心

率为 1的无心圆锥曲线．

2.抛物线中常见的几个结论：

已知 AB 是抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点弦，且 A(x1，y1)，B(x2，y2)．点 F是抛物线的焦点(如图)．

则有

(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.

(2)|AB|＝x1＋x2＋p.

(3)以过焦点的弦为直径的圆与准线相切．

(4)以焦半径为直径的圆与 y轴相切．

3．应用抛物线性质解题的常用技巧

(1)抛物线的中点弦问题用点差法较简便．

(2)轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所

在直线斜率的关系．

(3)在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多，

如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．

(4)圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找

到定点、定值，说明与参数无关，也常用特值探路法找定点、定值．

三.知识点贯通

知识点 1 抛物线性质的应用

标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞

0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p

＞0)

图形

性

质

焦点

准线 x＝－ x＝y＝－ y＝

范围 x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry ≥ 0 ， x ∈ R y ≤ 0 ， x ∈ R

对称

轴x

轴 y

轴

顶点 (0,0)

离心

率e＝1

例题 1.如图，过抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点 F的直线依次交抛物线及准线于点 A，B，C，若|BC|＝

2|BF|，且|AF|＝4，求抛物线的方程．

【解析】如图，分别过点 A，B作准线的垂线，分别交准线于点 E，D，

设|BF|＝a，则由已知得：

|BC|＝2a，

由定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，

在Rt△ACE 中，∵|AF|＝4，|AC|＝4＋3a，

∴2|AE|＝|AC|，∴4＋3a＝8，从而得 a＝，∵BD∥FG，∴＝，p＝2.因此抛物线的方程是 y2＝4x.

知识点二直线与抛物线的位置关系

直线与抛物线有三种位置关系：相离、相切和相交．

设直线 y＝kx＋m与抛物线 y2＝2px(p＞0)相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，将 y＝kx＋m代入 y2

＝2px，消去 y并化简，得 k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.

①k＝0时，直线与抛物线只有一个交点；

②k≠0时，Δ＞0⇔直线与抛物线相交⇔有两个公共点．

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