高二数学新教材知识讲学专题20 抛物线的简单几何性质（核心素养练习）（解析版）

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专题二十 抛物线的简单几何性质
一、核心素养聚焦
考点一 数学运算-抛物线几何性质的运用
例题 6.已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为 x轴且与圆 x2＋y2＝4相交的公共弦长
等于 2，则抛物线的方程为________．
【答案】y2＝3x或y2＝－3x　
【解析】根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为±，交点横坐标为±1，则抛物线
过点(1，)或(－1，)，设抛物线方程为
y2＝2px 或y2＝－2px(p>0)，
则2p＝3，从而抛物线方程为 y2＝3x或y2＝－3x
考点二 直观想象-直线与抛物线相交问题
例题 7已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为的直线 l被抛物
线所截得的弦长为 6，求抛物线的标准方程．
【解析】　当抛物线焦点在 x轴正半轴上时，可设抛物线标准方程为 y2＝2px(p＞
0) ， 则 焦 点 F， 直 线 l的 方 程 为 y＝x－.设 直 线 l与 抛 物 线 的 交 点 为
A(x1，y1)，B(x2，y2)，过点 A，B向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点 A1，点 B1，则|
AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝＋＝x1＋x2＋p＝6，
∴x1＋x2＝6－p.①
由消去 y，得＝2px，即 x2－3px＋＝0.∴x1＋x2＝3p，代入①式得 3p＝6－p，∴p＝.
∴所求抛物线的标准方程是 y2＝3x.
当抛物线焦点在 x轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是 y2＝－
3x.
二、学业质量测评
一、选择题
1．抛物线 焦点为 F，准线为 l，P为抛物线上一点， ，A为垂足，如果直线 的
倾斜角等于 ，那么 等于( )
A．B．C．D．3
1
【答案】C
【解析】根据题意，可得抛物线及直线的线段关系如下图所示：
抛物线 焦点为 F，则 ，准线方程为 ，
直线 的倾斜角等于 ，即 ，
而 ，所以 ，
由抛物线定义可知 ，
因而 ，
作 于 ，则 ， ，
所以 ，
所以在 中， ，
故选：C.
2．已知抛物线 的准线与圆 相切，则 p的值为
A．B．1C．2D．4
【答案】C
2
【解析】抛物线 y2=2px（p＞0）的准线方程为 x=- ，
因为抛物线 y2=2px（p＞0）的准线与圆（x-3）2+y2=16 相切，
所以 3+ =4，p=2；
故选 C．
3．已知抛物线 的焦点为 F，Q为抛物线上一点，连接 并延长交抛物线的准线于点
P，且点 P的纵坐标为负数，若 ，则直线 PF 的方程为（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】D
【解析】由于 的纵坐标为负数，所以直线 斜率大于零，由此排除 B,C 选项.设直线 的倾斜
角为 .作出抛物线 和准线 的图像如下图所示.作 ，交准线 于 点.
根据抛物线的定义可知 ，且 .依题意 ，故在直
角三角形 中 ，所以 ，故直线 的斜率为 ，所
以直线 的方程为 ，化简得 .
故选：D.
3
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