高二数学新教材知识讲学专题19 抛物线及其标准方程（核心素养练习）（解析版）

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专题十九抛物线及其标准方程

一、核心素养聚焦

考点一数学运算-求抛物线方程

例题 5.根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：

(1)经过点(－3，－1)；

(2)焦点为直线 3

－4

－12＝0 与坐标轴的交点．

【解析】(1)∵点(－3，－1)在第三象限，∴设所求抛物线的标准方程为 y2＝－2px(p>0)或x2＝－

2py(p>0)．

若抛物线的标准方程为 y2＝－2px(p>0)，则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得 p＝；

若抛物线的标准方程为 x2＝－2py(p>0)，则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得 p＝.

∴所求抛物线的标准方程为 y2＝－x或x2＝－9y.

(2)对于直线方程 3x－4y－12＝0，令 x＝0，得 y＝－3；令 y＝0，得 x＝4，

∴抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．

当焦点为(0，－3)时，＝3，∴p＝6，此时抛物线的标准方程为 x2＝－12y；

当焦点为(4,0)时，＝4，∴p＝8，此时抛物线的标准方程为 y2＝16x.

∴所求抛物线的标准方程为 x2＝－12y或y2＝16x.

考点二数学抽象-抛物线定义

例题 6已知抛物线 C：y2＝x的焦点为 F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则 x0＝(　　)

A．1　　　　B．2　　　　C．4　　　　D．8

【答案】A

【解析】由题意知抛物线的准线为 x＝－.因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义可得 x0＋＝|AF|＝x0，解

得x0＝1，故选 A.

考点三数学建模-抛物线实际问题

例题 7.一辆卡车高 3 m，宽 1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱口宽 AB 恰好

是拱高 OD 的4倍．若拱口宽为 a m，求能使卡车通过的 a的最小整数值．

【解析】　以拱顶 O为原点，拱高 OD 所在直线为 y轴，建立直角坐标系，如图所示．

设抛物线方程为 x2＝－2py(p＞0)．

∵AB 是OD 的4倍，∴点 B的坐标为.

由点 B在抛物线上，得＝－2p·，

∴p＝.

∴抛物线方程为 x2＝－ay.

设点 E(0.8，y0)为抛物线上一点，

代入方程 x2＝－ay，得 0.82＝－ay0，

∴y0＝－，

∴点E到拱底 AB 的距离 h＝－|y0|＝－，

令h＞3，则－＞3，

解得 a＞6＋或 a＜6－(舍去)．

∴a的最小整数值为 13.

二、学业质量测评

一、选择题

1．已知点在抛物线上，若点到抛物线焦点的距离等于，则焦点

到抛物线准线的距离等于（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】由抛物线定义可知：点到焦点的距离即为点到抛物线准线的距离，

即，解得：，

又焦点到抛物线准线的距离为，所求距离为 .

故选： .

2．抛物线的焦点坐标是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】即,故抛物线焦点在轴上, ,焦点纵坐标为 .

故焦点坐标为

故选：D

3．过点且与 y轴相切的圆的圆心轨迹为（）

A．圆B．椭圆 C．直线 D．抛物线

【答案】D

【解析】设点 P为满足条件的一点，因为点 P到点 A的距离等于点 P到y轴的距离，由抛物线定义

可得，点 P在以点 A为焦点，y轴为准线的抛物线上.

故选：D.

4．设某曲线上一动点 M到点与到直线的距离相等，经过点的直线 l与该曲线

相交于 A

、

B两点，且点 P恰为的中点，则（）

A．6B．8C．9D．10

【答案】D

【解析】由曲线上一动点 M到点与到直线的距离相等，知曲线为抛物线，其方程为

，过点的直线 l与该曲线相交于 A、B两点，且点 P恰为的中点，分别过点

A、B、P向抛物线的准线作垂线，垂足分别为、、，

连接、，由梯形的中位线知，，

，所以 .

故选：D.

5．点是抛物线上一动点，则点到点的距离与到直线的距离之和的最

小值是（）

A．B．2C．D．

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