高二数学新教材知识讲学专题18 双曲线的简单几何性质（知识精讲）（解析版）

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专题十八双曲线的简单几何性质

一知识结构图

内容考点关注点

双曲线的简单几何性质

双曲线的简单几何性质性质运用

双曲线的渐近线渐进线方程

直线与双曲线的位置关系判断直线与双曲线位置关系

二.学法指导

1．由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤

(1)把双曲线方程化为标准形式；

(2)由标准方程确定焦点位置，确定 a，b的值；

(3)由c2＝a2＋b2求出 c值，从而写出双曲线的几何性质．

2．由几何性质求双曲线标准方程的解题思路

由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方

程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为 mx2－ny2＝1(mn

＞0)．

3．常见双曲线方程的设法

(1)渐近线为 y＝±x的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0，m＞0，n＞0)；如果两条渐近线的方程为

Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为 A2x2－B2y2＝m(m≠0，A＞0，B＞0)．

(2)与双曲线－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ或－＝λ(λ≠0)．

(3)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)离心率相等的双曲线系方程可设为－＝λ(λ＞0)或－＝λ(λ＞0)，

这是因为由离心率不能确定焦点位置．

(4)与椭圆＋＝1(a＞b＞0)共焦点的双曲线系方程可设为－＝1(b2＜λ＜a2)．

4.求双曲线离心率的方法

(1)若可求得 a，c，则直接利用 e＝得解．

(2)若已知 a，b，可直接利用 e＝得解．

(3)若得到的是关于 a，c的齐次方程 pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r为常数，且 p≠0)，则转化为关

于e的方程 pe2＋qe＋r＝0求解．

5.直线与双曲线位置关系的判断方法

(1)方程思想的应用

把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为 ax2＋bx＋c＝0的形式，在 a≠0的情况

下考察方程的判别式．

①Δ>0 时，直线与双曲线有两个不同的公共点．

②Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．

③Δ<0 时，直线与双曲线没有公共点．

当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点．

(2)数形结合思想的应用

①直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其

位置关系．

②直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关

系．

三.知识点贯通

知识点 1 根据双曲线方程研究几何性质

标准方程

－＝1

(a＞0，b＞0)

－＝1

(a＞0，b＞0)

图形

性

质

范围 x ≥ a

或

x ≤ － a y ≤ － a

或

y ≥ a

对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点

顶点 ( － a, 0) ，( a, 0) (0 ，－ a ) ，(0 ， a )

轴长实轴长＝2 a ，虚轴长＝2 b

离心率 e ＝ >1

渐近线 y＝±x y ＝ ± x

例题 1.求双曲线 9y2－4x2＝－36 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐

近线方程．

【解析】　双曲线的方程化为标准形式是－＝1，

∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝.

又双曲线的焦点在 x轴上，

∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，

焦点坐标为(－，0)，(，0)，

实轴长 2a＝6，虚轴长 2b＝4，

离心率 e＝＝，渐近线方程为 y＝±x.

知识点二由几何性质求双曲线的标准方程

标准方程

－＝1

(a＞0，b＞0)

－＝1

(a＞0，b＞0)

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