高二数学新教材知识讲学专题18 双曲线的简单几何性质（核心素养练习）（解析版）

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专题十八 双曲线的简单几何性质
一、核心素养聚焦
考点一 数学运算-求双曲线的方程
例题 6.求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为 12，离心率为；
(2)焦点在 x轴上，离心率为，且过点(－5,3)；
【解析】(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)．
由题意知 2b＝12，＝且 c2＝a2＋b2，
∴b＝6，c＝10，a＝8，
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)∵e＝＝，∴c＝a，b2＝c2－a2＝a2.
又∵焦点在 x轴上，
∴设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0)．
把点(－5,3)代入方程，解得 a2＝16.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
考点二 直观想象-直线与双曲线的位置关系
例题 7.已知双曲线－y2＝1，求过点 A (3，－1)且被点 A平分的弦 MN 所在直线的方程．
【解析】　法一：由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为 y＋1＝k(x－3)，即 y
＝kx－3k－1，
由消去 y，
整理得(1－4k2)x2＋8k(3k＋1)x－36k2－24k－8＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
∴x1＋x2＝.
∵A(3，－1)为MN 的中点，
∴＝3，
即＝3，
解得 k＝－.
当k＝－时，
满足 Δ>0，符合题意，
∴所求直线 MN 的方程为 y＝－x＋，
即3x＋4y－5＝0.
1
法二：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∵M，N均在双曲线上，
∴
两式相减，得＝y－y，
∴＝.
∵点A平分弦 MN，
∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝－2.
∴kMN＝＝＝－.
经验证，该直线 MN 存在．
∴所求直线 MN 的方程为 y＋1＝－(x－3)，
即3x＋4y－5＝0.
二、学业质量测评
一、选择题
1．1．双曲线 的左焦点与右顶点之间的距离等于（ ）
A．6B．8C．9D．10
【答案】B
【解析】由已知得左焦点的坐标为 ，右顶点的坐标为 ，
所以左焦点与右顶点之间的距离等于 8.
故选：B.
2．P是双曲线 上一点，双曲线的一条渐近线的方程为 ， ， 分别是双
曲线的左､右焦点，若 ，则 （ ）
A．12 B．16 C．18 D．20
【答案】A
【解析】不妨设 ，
因为双曲线 的一条渐近线的方程为 ，
2
所以 即 ，所以双曲线的方程为 ，所以点 ，
所以点 的横坐标为 ，代入双曲线的方程可得点 的纵坐标为 ，
所以 ， .
故选：A.
3．已知 是双曲线 的两个焦点， 是双曲线 左支上的一点，且
与两条渐近线相交于 两点．若点 恰好平分线段 ，则双曲线 的焦距
为（ ）．
A．B．C．D．4
【答案】C
【解析】不妨取渐近线方程为 ， 是 中点，故 ，故 ，
，故 ， ， ，
根据勾股定理： ，故 ，故焦距为 .
故选：C.
4．已知双曲线 的离心率为 2，则点 到渐近线的距离等于（
）
A．3B．C．2D．6
【答案】A
【解析】由题意，双曲线 的离心率为 2，
即 ，解得 ，
3
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