高二数学新教材知识讲学专题17 双曲线及其标准方程（知识精讲）（解析版）
专题十七 双曲线及其标准方程
一 知识结构图
内 容 考点 关注点
双曲线及其标准方程
双曲线的定义 定义运用
双曲线的标准方程 由方程确定焦点位置、求方程
二.学法指导
1．双曲线标准方程的两种求法
(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的 a，b，c，再写出双曲线的标准方程．
(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程－＝1或－＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出
待定的系数代入方程即可．
2．求双曲线中的焦点△PF1F2面积的方法
(1)① 根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间
满足的关系式；③通过配方，整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值；④利用公式 SPF1F2△＝×|PF1|·|PF2|
·sin∠F1PF2求得面积．
(2)利用公式
SΔ PF 1F2
＝×|F1F2|×|yP|求得面积．
3．求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：
(1)列出等量关系，化简得到方程；
(2)寻找几何关系，结合双曲线的定义，得出对应的方程．
求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对
应的是双曲线的一支还是两支．
三.知识点贯通
知识点 1 求双曲线的标准方程
焦点在 x轴上 焦点在 y轴上
标准方程 －＝ 1 (a＞0，b＞0) －＝ 1 (a＞0，b＞0)
焦点 F1( － c, 0) ，F2( c, 0) F1(0 ，－ c ) ，F2(0 ， c )
a，b，c
的关系 c2＝a 2
＋ b 2
例题 1.根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)a＝4，经过点 A；
(2)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)；
【解析】 (1)当焦点在 x轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把点 A的坐标代入，得 b2＝－
×<0，不符合题意；当焦点在 y轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把 A点的坐标代入，得 b2
＝9.故所求双曲线的标准方程为－＝1.
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