高二数学新教材知识讲学专题17 双曲线及其标准方程（核心素养练习）（解析版）

3.0 envi 2025-04-11 4 4 264KB 9 页 3知币
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专题十七 双曲线及其标准方程
一、核心素养聚焦
考点一 数学运算-求双曲线的方程
例题 5.根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)焦距为 2，经过点(－5,2)，且焦点在 x轴上；
(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，且过点 A(－5,6)．
【解析】(1)因为焦点在 x轴上，且 c＝，
所以设双曲线的标准方程为－＝1,0＜a2＜6.
又因为过点(－5,2)，所以－＝1，
解得 a2＝5或a2＝30(舍去)．
所以双曲线的标准方程为－y2＝1.
(2)由已知得 c＝6，且焦点在 y轴上．因为点 A(－5，6)在双曲线上，所以 2a＝|－|＝|13－5|＝
8，则 a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.
所以所求双曲线的标准方程是－＝1.
考点二 数学抽象-双曲线的定义
例题 6平面内有两个定点 F1(－5,0)和F2(5,0)，动点 P满足|PF1|－|PF2|＝6，则动点 P的轨迹方程是(
)
A．－＝1(x≤－4) B．－＝1(x≤－3)
C．－＝1(x≥4) D．－＝1(x≥3)
[答案]　D
【解析】由双曲线的定义可知选 D。
考点三 逻辑推理-求点的轨迹方程
例题 7、如图所示，已知定圆 F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆 F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆 M与定
圆F1，F2都外切，求动圆圆心 M的轨迹方程．
【解析】　圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心 F1(－5,0)，半径 r1＝1.
圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心 F2(5,0)，半径 r2＝4.
设动圆 M的半径为 R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝3＜10＝|F1F2|.
∴点M的轨迹是以 F1，F2为焦点的双曲线的左支，且 a＝，c＝5，于是 b2＝c2－a2＝.
故动圆圆心 M的轨迹方程为－＝1.
二、学业质量测评
一、选择题
1
到两定点 的距离之差的绝对值等于 6的点 的轨迹为（　　）
A．椭圆 B．两条射线 C．双曲线 D．线段
【答案】B
【解析】∵到两定点
F
1（﹣3，0）、
F
2（3，0）的距离之差的绝对值等于 6，
而|
F
1
F
2|＝6，
∴满足条件的点的轨迹为两条射线．
故选
B
．
2．若双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 在双曲线 上，且 ，则
等于（ ）
A．11 B．9 C．5 D．3
【答案】B
【解析】
由双曲线定义得 ，即 ，解得 ，故选 B．
3．已知 F是双曲线 C：的右焦点，P是C上一点，且 PF 与x轴垂直，点 A的坐标是
(1，3)，则 的面积为
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
由 得 ，所以 ，将 代入 ，得 ，所以 ，
2
又点
A
的坐标是(1，3)，故△
APF
的面积为 ，选 D．
4．设动点 P 到 A(－5，0)的距离与它到 B(5，0)的距离的差等于 6，则 P 点的轨迹方程是(　　)
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题意得动点 P到A(－5，0)的距离与它到 B(5，0)的距离的差等于 6,知轨迹是双曲线的一
支，根据定义得到：c＝5，a＝3，∴b＝4，∴点 P的轨迹方程是 .
故答案为：D.
5．已知双曲线 上一点 到左焦点 的距离为 10，则 的中点 到坐标原点 的距
离为（ ）
A．3或7B．6或14 C．3D．7
【答案】A
【解析】设双曲线 的右焦点为 ，则 是 的中位线，
，
或6， 或 3.
故选：A
6．已知双曲线 .若矩形 的四个顶点在 E上， 的中点为
E的两个焦点，且 ，则双曲线 E的标准方程是（ ）
3
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