高二数学新教材知识讲学专题16 椭圆的简单几何性质（知识精讲）（解析版）

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专题十六椭圆的简单几何性质

一知识结构图

内容考点关注点

椭圆的简单几何性质

椭圆的简单几何性质性质运用

离心率求离心率，由离心率求方程

二.学法指导

1．由标准方程研究性质时的两点注意

(1)已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进

而确定椭圆的类型．

(2)焦点位置不确定的要分类讨论，找准 a与b，正确利用 a2＝b2＋c2求出焦点坐标，再写出顶

点坐标．同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是 a，b，c，而应是 2a,2b,2c.

2．利用椭圆的几何性质求标准方程的思路

(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：

① 确定焦点位置；

② 设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；

③ 根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式

有b2＝a2－c2，e＝等．

(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求

所要确定的椭圆的标准方程可能有两个．

3．求椭圆离心率及范围的两种方法

(1)直接法：若已知 a，c可直接利用 e＝求解．若已知 a，b或b，c可借助于 a2＝b2＋c2求出 c

或a，再代入公式 e＝求解．

(2)方程法：若 a，c的值不可求，则可根据条件建立 a，b，c的齐次关系式，借助于 a2＝b2＋

c2，转化为关于 a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以 a的最高次幂，得到关于

e的方程或不等式，即可求得 e的值或范围．

4.代数法判断直线与椭圆的位置关系

判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个

变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则

Δ>0⇔直线与椭圆相交；

Δ＝0⇔直线与椭圆相切；

Δ<0⇔直线与椭圆相离．

5.解决椭圆的中点弦问题的两种方法

(1)方程组法

通过解直线方程与椭圆方程构成的方程组，利用一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式

求解．

(2)点差法

设直线与椭圆的交点(弦的端点)坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，将这两点代入椭圆的方程并对所

得两式作差，得到一个与弦 AB 的中点(x0，y0)和斜率 kAB 有关的式子，可以大大减少运算量．我们

称这种代点作差的方法为“点差法”，事实上就是椭圆的垂径定理．

利用 kAB＝＝－·＝－·，转化为中点(x0，y0)与直线 AB 的斜率之间的关系，这是处理弦中点轨迹

问题的常用方法．

三.知识点贯通

知识点 1 由椭圆方程研究几何性质

焦点的

位置焦点在 x轴上焦点在 y轴上

图形

焦点的

位置焦点在 x轴上焦点在 y轴上

标准

方程＋＝1(a＞b＞0) ＋＝ 1 (a>b>0)

范围－ a ≤ x ≤ a

且－ b ≤ y ≤ b － b ≤ x ≤ b

且－ a ≤ y ≤ a

对称性对称轴为坐标轴，对称中心为原点

顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)

B1(0，－b)，B2(0，b)

A1(0，－a)，A2(0，a)

B1(－b,0)，B2(b,0)

轴长短轴长|B1B2|＝2 b ，长轴长|A1A2|＝2 a

焦点 F1( － c, 0) ， F 2( c, 0) F1(0 ，－ c ) ， F 2(0 ， c )

焦距 |F1F2|＝2 c

例题 1.求椭圆 9x2＋16y2＝144 的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标．

【解析】　把已知方程化成标准方程为＋＝1，

所以 a＝4，b＝3，c＝＝，

所以椭圆的长轴长和短轴长分别是 2a＝8和2b＝6；

离心率 e＝＝；

两个焦点坐标分别是(－，0)，(，0)；

四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)．

知识点二由几何性质求椭圆的方程

焦点的

位置焦点在 x轴上焦点在 y轴上

图形

焦点的

位置焦点在 x轴上焦点在 y轴上

标准

方程＋＝1(a＞b＞0) ＋＝ 1 (a>b>0)

范围－ a ≤ x ≤ a

且－ b ≤ y ≤ b － b ≤ x ≤ b

且－ a ≤ y ≤ a

对称性对称轴为坐标轴，对称中心为原点

顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)

B1(0，－b)，B2(0，b)

A1(0，－a)，A2(0，a)

B1(－b,0)，B2(b,0)

轴长短轴长|B1B2|＝2 b ，长轴长|A1A2|＝2 a

焦点 F1( － c, 0) ， F 2( c, 0) F1(0 ，－ c ) ， F 2(0 ， c )

焦距 |F1F2|＝2 c

例题 2：求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)椭圆过点(3,0)，离心率 e＝；

(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为 8；

【解析】　(1)若焦点在 x轴上，则 a＝3，

∵e＝＝，∴c＝，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3.

∴椭圆的方程为＋＝1.

若焦点在 y轴上，则 b＝3，

∵e＝＝＝＝，解得 a2＝27.

∴椭圆的方程为＋＝1.

∴所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.

(2)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)．

如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，

OF 为斜边 A1A2的中线(高)，

且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，

∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32，

故所求椭圆的方程为＋＝1.

知识点三求椭圆的离心率

(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率．

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