高二数学新教材知识讲学专题16 椭圆的简单几何性质（核心素养练习）（解析版）

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专题十六 椭圆的简单几何性质
一、核心素养聚焦
考点一 数学运算-由离心率求椭圆方程
例题 9.设椭圆 C：＋＝1(a＞b＞0)过点(0,4)，离心率为.
(1)求椭圆 C的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被 C所截线段的中点的坐标．
【解析】(1)将(0,4)代入 C的方程，得＝1，∴b＝4.
由e＝＝，得＝，即 1－＝，∴a＝5，
∴椭圆 C的方程为＋＝1.
(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为 y＝(x－3)．
设直线与 C的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线 AB 的方程 y＝(x－3)代入 C的方程，得＋＝1，即 x2－3x－8＝0，
则x1＋x2＝3，∴＝，＝(x1＋x2－6)＝－，即中点的坐标为.
考点二 直观想象-离心率和椭圆的形状
例题 10 比较椭圆① x2＋9y2＝36 与②＋＝1的形状，则________更扁．(填序号)
【答案】①　
【解析】把 x2＋9y2＝36 化为标准形式＋＝1，离心率 e1＝＝，而＋＝1的离心率 e2＝＝，这里 e2＜
e1，故①更扁．
考点三 逻辑推理-直线与椭圆的位置关系
例题 11、已知椭圆方程为 .
（1）判断直线 是否与椭圆有公共点；
（2）若斜率为 1的直线 l与椭圆相交于 A
、
B两点，且 ，求直线 l的方程.
【答案】（1）没有公共点；（2） 或 .
【解析】（1）由 可得 ，由于 ，所以该方程组
无解，即直线与椭圆没有公共点.
（2）设直线 l的方程为 ， .
1
由方程组 消去 y得 ，
由题意，得 ，且 ，
因为 ，
所以 ，
解得 ，验证知 成立，
所以直线 l的方程为 或 .
二、学业质量测评
一、选择题
1．椭圆 的焦点为 ， 点 为椭圆上的动点若 为钝角，点 的横坐标的取
值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为 ， 为椭圆 的两焦点，则 ， ，
设 ，则 ， ，
因为 为钝角，
所以 ，
又∵ ，∴ ，
2
∴.
故选：B.
2．若点 在椭圆 的内部，则实数 的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】解： ，所以
故选：B.
3．若椭圆 ： 的一个焦点坐标为 ，则 的长轴长为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【解析】因为椭圆 ： ，焦点 ，
所以 ， ， ，即 ，解得 或 （舍去）.
所以 ，长轴为 .
故选：D
4．椭圆 的焦点在 y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 m的值为（ ）
A．B．8C．2D．4
【答案】A
3
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