高二数学新教材知识讲学专题15 椭圆及其标准方程（知识精讲）（原卷版）

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专题十五 椭圆及其标准方程
一 知识结构图
内 容 考点 关注点
椭圆及其标准方程
椭圆的定义 椭圆上的点到焦点的距离
椭圆的标准方程 求椭圆的标准方程
二.学法指导
1．用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤
(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在
x
轴上，还是在
y
轴上，还是两个坐标轴都有可能．
(2)设方程：根据上述判断设方程＋＝1(
a
＞
b
＞0)或＋＝1(
a
＞
b
＞0)或整式形式
mx
2＋
ny
2＝1(
m
＞0，
n
＞0，
m
≠
n
)．
(3)找关系：根据已知条件建立关于
a
，
b
，
c
(或
m
，
n
)的方程组．
(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求．
2．椭圆定义在焦点三角形中的应用技巧
(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|
MF
1|＋|
MF
2|＝2
a
(2
a
＞|
F
1
F
2|)，则点
M
的轨迹是椭圆；反
之，椭圆上任意一点
M
到两焦点的距离之和必为 2
a
.
(2)涉及焦点三角形面积时，可把|
PF
1|，|
PF
2|看作一个整体，运用|
PF
1|2＋|
PF
2|2＝(|
PF
1|＋|
PF
2|)2－2|
PF
1|·|
PF
2|及余弦定理求出|
PF
1|·|
PF
2|，而无需单独求解
3．与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法。
4．对定义法求轨迹方程的认识
如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写
出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广
泛使用，是一种重要的解题方法．
5．代入法(相关点法)
若所求轨迹上的动点
P
(
x
，
y
)与另一个已知曲线
C
：
F
(
x
，
y
)＝0 上的动点
Q
(
x
1，
y
1)存在着某种
联系，可以把点
Q
的坐标用点
P
的坐标表示出来，然后代入已知曲线
C
的方程
F
(
x
，
y
)＝0，化简
即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)．
三.知识点贯通
知识点 1 椭圆的标准方程
焦点在 x轴上 焦点在 y轴上
标准方程 ＋＝ 1( a > b >0) ＋＝1(a＞b＞0)
例题 1.求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别为 F1(－4,0)，F2(4,0)，并且椭圆上一点 P与两焦点的距离的和等于
10；
(2)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,3) ；
(3)经过两点(2，－)，.
1
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